【题目】已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a>0时,如图所示,若点D是第三象限方抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,三角形ADC的面积为S,求出S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时,S有最大值?最大值是多少.
【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3;(2) S=﹣(m2+3m)(﹣3<m<0);当m=﹣时,S取最大值,最大值为.
【解析】
(1)根据点B的坐标及OC=3OB可得出点C的坐标,再根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)过点D作DE⊥x轴,交AC于点E,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标,进而即可得出线段AC所在直线的解析式,由点D的横坐标可找出点D、E的坐标,再利用三角形的面积公式即可得出S与m的函数关系式,利用配方法可找出S的最大值.
(1)∵点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
∴点C的坐标为(0,3)或(0,﹣3),
将点B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,
或
解得: 或,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.
(2)过点D作DE⊥x轴,交AC于点E,如图所示.
∵a>0,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3,
∴点C的坐标为(0,﹣3).
当y=0时,有x2+2x﹣3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∴点A的坐标为(﹣3,0),
利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3.
∵点D的横坐标为m,
∴点D的坐标为(m,m2+2m﹣3),点E的坐标为(m,﹣m﹣3),
∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,
∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣(m2+3m)(﹣3<m<0).
∵﹣<0,且S=﹣(m2+3m)=﹣(m+)2+,
∴当m=﹣时,S取最大值,最大值为.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,2),C(4,4).已知四边形ABCD为菱形,其中AB与BC为一组邻边.
(1)请在图中作出菱形ABCD,并求出菱形ABCD的面积;
(2)过点A的直线l:y=x+b与线段CD相交于点E,请在图中作出直线l的图象,并求出△ADE的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在抛物线上是否存在点 D(与点 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,中,,点在所在的直线上,点在射线上,且,连接.
(1)如图①,若,,求的度数;
(2)如图②,若,,求的度数;
(3)当点在直线上(不与点、重合)运动时,试探究与的数量关系,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),抛物线顶点为D点.
(1)求此抛物线解析式;
(2)如图1,点P为抛物线上的一个动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,PA交对称轴于点E,如图2,过E点的任一条直线与抛物线交于M,N两点,直线MD交直线y=﹣3于点F,连结NF,求证:NF∥y轴.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点都在格点上,请完成下列任务:
(1)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C;
(2)求线段AC旋转到A1C的过程中,所扫过的图形的面积;
(3)以点O为位似中心,位似比为2,将△A1B1C放大得到△A2B2C2(在网格之内画图).
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【题目】如图1,中,于,且.
(1)试说明是等腰三角形;
(2)已知,如图2,动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动,同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动,设点运动的时间为(秒).
①若的边于平行,求的值;
②若点是边的中点,问在点运动的过程中,能否成为等腰三角形?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
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