【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),抛物线顶点为D点.
(1)求此抛物线解析式;
(2)如图1,点P为抛物线上的一个动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,PA交对称轴于点E,如图2,过E点的任一条直线与抛物线交于M,N两点,直线MD交直线y=﹣3于点F,连结NF,求证:NF∥y轴.
【答案】(1)抛物线解析式为:y=x2﹣4x+3;(2)P(4,3);(3)证明见解析.
【解析】
(1)利用待定系数法确定函数关系式;
(2)利用待定系数法求得直线AD的解析式,根据函数图象上点的坐标特征可以设P(t,t2-4t+3),R(t,-t+1).如图1,过点P作PR∥y交AD的延长线于R,由此得到S△ADP=S△APR-S△PDR=PR(t-1)-PR(t-2)=3,PR=6,所以利用关于t的方程求得点P的坐标;
(3)欲证明NF∥y轴,只需求得点N、F的横坐标相等即可.
(1)把A(1,0),B(3,0),C(0,3)分别代入y=ax2+bx+c,得
,
解得,
所以,该抛物线解析式为:y=x2﹣4x+3;
(2)由(1)知,该抛物线解析式为:y=x2﹣4x+3,
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴顶点D的坐标是(2,﹣1).
如图1,过点P作PR∥y交AD的延长线于R,
由A(1,0),D(2,﹣1)易得直线AD的解析式为:y=﹣x+1.
设P(t,t2﹣4t+3),R(t,﹣t+1).
∴PR=t2﹣3t+2.
∵△ADP面积为3,
∴S△ADP=S△APR﹣S△PDR=PR(t﹣1)﹣PR(t﹣2)=3,
∴PR=6,即t2﹣3t+2=6,
解得t1=4,t2=0(舍去).
此时t2﹣4t+3=42﹣4×4+3=3,
∴P(4,3);
(3)证明:∵P(4,3),A(1,0),
∴直线AP为y=x﹣1,
把x=2代入,y=1,
故E(2,1).
设直线MN的解析式为:y=kx﹣2k+1.
联立方程组,得,
消去y,得x2﹣(4+k)x+2+2k=0,
解得x1=,x2=,
∴M(,),xN=.
∴直线MN的解析式为y=(x﹣2)﹣1.
令y=﹣3,得xF=,
即:xN=xF,
∴NF∥y轴.
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【题目】“十一黄金周”前,某旅行社要印刷旅游宣传材料,甲印刷厂提出:每份材料收1元印刷费,另收1500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印刷费,不收制版费.
(1)分别写出两印刷厂的收费y(元)与印制宣传材料数量x(份)之间的关系式;
(2)旅行社要印制800份宣传材料,选择那家印刷厂比较合算?说明理由.
(3)旅行社拟拿出3000元用于印制宣传材料,哪家印刷厂印制的多?
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【题目】如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过B点,且顶点在直线y=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为s,求s与t之间的函数关系式,写出自变量t的取值范围,并求s取大值时,点M的坐标.
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【题目】已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a>0时,如图所示,若点D是第三象限方抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,三角形ADC的面积为S,求出S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时,S有最大值?最大值是多少.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当点P运动到点E时,求△PCD的面积;
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在x轴上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,点D是抛物线第四象限上的一动点,连接DC,DB,当S△DCB=S△ABC时,求点D坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,点Q在CA的延长线上,连接DQ,AD,过点Q作QP∥y轴,交抛物线于P,若∠AQD=∠ACO+∠ADC,请求出PQ的长.
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是( )
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.
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【题目】已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为 B,且抛物线不过第三象限.
(1)过点B作直线l垂直于x轴于点C,若点C坐标为(2,0),a=1,求b和c的值;
(2)比较与0的大小,并说明理由;
(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与抛物线交于另外一点D(,b+8),求当≤x<5时y1的取值范围.
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