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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+cx轴交于A(1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),抛物线顶点为D点.

(1)求此抛物线解析式;

(2)如图1,点P为抛物线上的一个动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标;

(3)(2)的条件下,PA交对称轴于点E,如图2,过E点的任一条直线与抛物线交于M,N两点,直线MD交直线y=﹣3于点F,连结NF,求证:NF∥y轴.

【答案】(1)抛物线解析式为:y=x2﹣4x+3;(2)P(4,3);(3)证明见解析.

【解析】

(1)利用待定系数法确定函数关系式;

(2)利用待定系数法求得直线AD的解析式,根据函数图象上点的坐标特征可以设P(t,t2-4t+3),R(t,-t+1).如图1,过点PPRyAD的延长线于R,由此得到SADP=SAPR-SPDR=PR(t-1)-PR(t-2)=3,PR=6,所以利用关于t的方程求得点P的坐标;

(3)欲证明NFy轴,只需求得点N、F的横坐标相等即可.

(1)A(1,0),B(3,0),C(0,3)分别代入y=ax2+bx+c,得

解得

所以,该抛物线解析式为:y=x2﹣4x+3;

(2)(1)知,该抛物线解析式为:y=x2﹣4x+3,

y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴顶点D的坐标是(2,﹣1).

如图1,过点PPRyAD的延长线于R,

A(1,0),D(2,﹣1)易得直线AD的解析式为:y=﹣x+1.

P(t,t2﹣4t+3),R(t,﹣t+1).

PR=t2﹣3t+2.

∵△ADP面积为3,

SADP=SAPR﹣SPDRPR(t﹣1)﹣PR(t﹣2)=3,

PR=6,即t2﹣3t+2=6,

解得t1=4,t2=0(舍去).

此时t2﹣4t+3=42﹣4×4+3=3,

P(4,3);

(3)证明:∵P(4,3),A(1,0),

∴直线APy=x﹣1,

x=2代入,y=1,

E(2,1).

设直线MN的解析式为:y=kx﹣2k+1.

联立方程组,得

消去y,得x2﹣(4+k)x+2+2k=0,

解得x1,x2

M(),xN

∴直线MN的解析式为y=(x﹣2)﹣1.

y=﹣3,得xF

即:xN=xF

NFy轴.

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(1)求抛物线的解析式;

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(1)求抛物线的解析式;

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