【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.
(1)求⊙O的半径OD;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
【答案】解:(1)∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB。
在Rt△BDO中,BD=2, ,
∴OD=3。
(2)连接OE,
∵AE=OD=3,AE∥OD,∴四边形AEOD为平行四边形。
∴AD∥EO。
∵DA⊥AE,∴OE⊥AC。
又∵OE为圆的半径,∴AC为圆O的切线。
(3)∵OD∥AC,∴△DBO∽△ABC。
∴,即。∴AC=。∴EC=AC﹣AE=﹣3=。
又∵易得四边形ADOE是正方形,∴∠DOE=90°。∴∠FOD+∠EOG=90°。
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×﹣。
【解析】
试题(1)由AB为圆O的切线,利用切线的性质得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用锐角三角函数定义,根据tan∠BOD及BD的值,求出OD的值即可。
(2)连接OE,由AE=OD=3,且OD与AE平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行,再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直,即可得证。
(3)阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积,求出即可。
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在抛物线上是否存在点 D(与点 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点都在格点上,请完成下列任务:
(1)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C;
(2)求线段AC旋转到A1C的过程中,所扫过的图形的面积;
(3)以点O为位似中心,位似比为2,将△A1B1C放大得到△A2B2C2(在网格之内画图).
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0),经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连接OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
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【题目】如图,设在一个宽度为w的小巷内,一个梯子长为a,梯子的脚位于A点,将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时,Q离开地面的高度为k,梯子与地面的夹角为45°:将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时,R点离开地面的高度为h,且此时梯子与地面的夹角为75°,则小巷宽度w=( )
A.hB.kC.aD.
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【题目】为了响应“足球进校国”的目标,兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中,一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式h=﹣5t2+v0t表示,其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间,v0(m/s)是足球被踢出时的速度,如果要求足球的最大高度达到20m,那么足球被踢出时的速度应该达到( )
A. 5m/s B. 10m/s C. 20m/s D. 40m/s
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【题目】如图1,中,于,且.
(1)试说明是等腰三角形;
(2)已知,如图2,动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动,同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动,设点运动的时间为(秒).
①若的边于平行,求的值;
②若点是边的中点,问在点运动的过程中,能否成为等腰三角形?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2﹣y1=4
④2AB=3AC.
其中正确结论是______.
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【题目】如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
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