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【题目】如图,ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,PAC=B,AD为O的直径,过C作CGAD于E,交AB于F,交O于G。

(1)判断直线PA与O的位置关系,并说明理由;

(2)求证:AG2=AF·AB;

(3)若O的直径为10,AC=2,AB=4,求AFG的面积.

【答案】(1)PA与O相切理由见解析;(2)证明见解析;(3)3.

【解析】

试题分析:(1)连接CD,由AD为O的直径,可得ACD=90°,由圆周角定理,证得B=D,由已知PAC=B,可证得DAPA,继而可证得PA与O相切.

(2)连接BG,易证得AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论.

(3)连接BD,由AG2=AFAB,可求得AF的长,易证得AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案.

试题解析:解:(1)PA与O相切.理由如下:

如答图1,连接CD,

AD为O的直径,∴∠ACD=90°.

∴∠D+CAD=90°.

∵∠B=D,PAC=B,∴∠PAC=D.

∴∠PAC+CAD=90°,即DAPA.

点A在圆上,

PA与O相切.

(2)证明:如答图2,连接BG,

AD为O的直径,CGAD,.∴∠AGF=ABG.

∵∠GAF=BAG,∴△AGF∽△ABG.

AG:AB=AF:AG. AG2=AFAB.

(3)如答图3,连接BD,

AD是直径,∴∠ABD=90°.

AG2=AFAB,AG=AC=2,AB=4AF=.

CGAD,∴∠AEF=ABD=90°.

∵∠EAF=BAD,∴△AEF∽△ABD. ,即,解得:AE=2.

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