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【题目】已知:ABCAB=ACM为底边BC上任意一点,过点M分别作ABAC的平行线交ACP,交ABQ.

探究:(1)线段QMPMAB之间有什么关系?并说明你的理由.

(2)当M位于BC的什么位置时, 四边形AQMP是菱形?并说明你的理由.

(3)当ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形?

【答案】(1)AB=QM+PM,证明见解析;(2)当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形,证明见解析;(3)当∠A=90°时, 菱形AQMP为正方形.

【解析】1)根据平行四边形的判定得出平行四边形AQMP,求出BQ=MQ即可;

(2)求出AQ=QM,根据菱形的判定推出即可;

(3)根据有一个角是直角的菱形是正方形求解即可.

1)AB=QM+PM

证明:∵PM‖AB,QM‖AC

∴四边形AQMP为平行四边形

PM=AQ

QM‖AC

∴∠C=QMB

AB=AC

∴∠C=B

∴∠B=QMB

BQ=MQ

AB=AQ+BQ

AB=QM+PM

(2)当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形

证明:连接AM

M为底边BC的中点,AB=AC

∴∠BAM=MAC

PM‖AB

∴∠BAM=AMP

∴∠MAC=AMP

PA=PM

∴平行四边形AQMP为菱形

(3)当∠A=90°, 菱形AQMP为正方形

由(2)知,四边形AQMP为菱形,

∵∠A=90°,

∴菱形AQMP为正方形.

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