Question

【题目】已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．

（1）求点A、B、C的坐标．

（2）求直线BM的函数解析式．

（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．

（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A（﹣1，0），点B（3，0），点C坐标为（0，﹣3）；（2）y=2x﹣6；（3）证明见解析；（4）点P坐标为（，﹣）.

【解析】

（1）根据题意可以直接可求点A、B、C的坐标；

（2）用待定系数法可求解析式；

（3）根据两点距离公式可求BM，BC，CM的长度，根据勾股定理的逆定理可得∠BCM=90°，即可证：∠CBM+∠CMB=90°；

（4）根据题意可求线段BM中点坐标，即可求直线CP解析式，且点P在抛物线上，可列方程，即可求点P坐标．

（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，∴0=x2﹣2x﹣3，∴x1=3，x2=﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0）．

∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，∴当x=0时，y=﹣3，∴点C坐标为（0，﹣3）；

（2）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点M（1，﹣4）．

设直线BM的解析式：y=kx+b过点B（3，0），M（1，﹣4），∴

解得：k=2，b=﹣6．

∴直线BM的解析式：y=2x﹣6．

（3）∵点M（1，﹣4），点B（3，0），点C（0，﹣3），∴BC==3

BM==2

CM==

∵BC2+CM2=20，BM2=20，∴BC2+CM2=BM2，∴∠BCM=90°，∴∠CBM+∠CMB=90°．

（4）如图：设直线CP与BM的交点为F．

∵直线CP把△BCM分成面积相等的两部分，∴S△CMF=S△BCF．

∵△CMF和△BCF是等高的两个三角形，∴FM=BF，即点F是BM的中点．

∵点B（3，0），点M（1，﹣4），∴点F坐标为（2，﹣2）．

设直线CP的解析式为y=mx+n，∴

解得：m=，n=﹣3

∴直线CP解析式y=x﹣3．

∵点P是直线CP与抛物线y=x2﹣2x﹣3的交点，∴x﹣3=x2﹣2x﹣3

解得：x1=0（不合题意舍去），x2=．

当x=时，y=﹣2×=﹣，∴点P坐标为（，﹣）．