【题目】已知:如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,该抛物线的顶点为M.
(1)求点A、B、C的坐标.
(2)求直线BM的函数解析式.
(3)试说明:∠CBM+∠CMB=90°.
(4)在抛物线上是否存在点P,使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点A(﹣1,0),点B(3,0),点C坐标为(0,﹣3);(2)y=2x﹣6;(3)证明见解析;(4)点P坐标为(,﹣
).
【解析】
(1)根据题意可以直接可求点A、B、C的坐标;
(2)用待定系数法可求解析式;
(3)根据两点距离公式可求BM,BC,CM的长度,根据勾股定理的逆定理可得∠BCM=90°,即可证:∠CBM+∠CMB=90°;
(4)根据题意可求线段BM中点坐标,即可求直线CP解析式,且点P在抛物线上,可列方程,即可求点P坐标.
(1)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,∴0=x2﹣2x﹣3,∴x1=3,x2=﹣1,∴点A(﹣1,0),点B(3,0).
∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C,∴当x=0时,y=﹣3,∴点C坐标为(0,﹣3);
(2)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴点M(1,﹣4).
设直线BM的解析式:y=kx+b过点B(3,0),M(1,﹣4),∴
解得:k=2,b=﹣6.
∴直线BM的解析式:y=2x﹣6.
(3)∵点M(1,﹣4),点B(3,0),点C(0,﹣3),∴BC==3
BM==2
CM==
∵BC2+CM2=20,BM2=20,∴BC2+CM2=BM2,∴∠BCM=90°,∴∠CBM+∠CMB=90°.
(4)如图:设直线CP与BM的交点为F.
∵直线CP把△BCM分成面积相等的两部分,∴S△CMF=S△BCF.
∵△CMF和△BCF是等高的两个三角形,∴FM=BF,即点F是BM的中点.
∵点B(3,0),点M(1,﹣4),∴点F坐标为(2,﹣2).
设直线CP的解析式为y=mx+n,∴
解得:m=,n=﹣3
∴直线CP解析式y=x﹣3.
∵点P是直线CP与抛物线y=x2﹣2x﹣3的交点,∴x﹣3=x2﹣2x﹣3
解得:x1=0(不合题意舍去),x2=.
当x=时,y=
﹣2×
=﹣
,∴点P坐标为(
,﹣
).
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【题目】如图,线段AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点M是弧CBD 上任意一点,AH=2,CH=4.
(1)求⊙O 的半径r 的长度;
(2)求sin∠CMD;
(3)直线BM交直线CD于点E,直线MH交⊙O 于点 N,连接BN交CE于点 F,求HEHF的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=5cm,BC=13cm,点D在线段AC上,且CD=7cm,动点P从距B点15cm的E点出发,以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动,时间为t秒.
(1)求AD的长.
(2)用含有t的代数式表示AP的长.
(3)在运动过程中,是否存在某个时刻,使△ABC与△ADP全等?若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由.
(4)直接写出t=______秒时,△PBC为等腰三角形.
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【题目】某药厂销售部门根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测,井建立如下模型:设第t个月该原料药的月销售量为P(单位:吨),P与t之间存在如图所示的函数关系,其图象是函数P=(0<t≤8)的图象与线段AB的组合;设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q(单位:万元),Q与t之间满足如下关系:Q=
(1)当8<t≤24时,求P关于t的函数解析式;
(2)设第t个月销售该原料药的月毛利润为w(单位:万元)
①求w关于t的函数解析式;
②该药厂销售部门分析认为,336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围,求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值.
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【题目】如图,△ABC是边长为8等边三角形,如图所示,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为每秒1个单位长度,点N的运度为每秒2个单位长度,当点M第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形?
(2)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰?如存在,请求出此时M、N运动的时间.
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【题目】已知△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A﹣∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.(b+c)(b﹣c)=a2
D.a=7,b=24,c=25
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【题目】如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),……,按这样的运动规律,经过第2011次运动后,动点P的坐标是( )
A.(2011,0)B.(2011,1)C.(2011,2)D.(2010,0)
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【题目】如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别是PB、PC(靠近点P)的三等分点,△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为、
、
,若AD=2,AB=
,∠A=60°,则
的值为( )
A. B.
C.
D. 4
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