【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D,交y轴为E.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求的值.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2).
【解析】
(1)根据题意,设出抛物线的交点式,再根据抛物线过点C,可以求得该抛物线的解析式;
(2)根据(1)中的抛物线的解析式可以求得点D的坐标,从而可以求得直线BD的解析式,进而求得点E的坐标,再根据三角形相似,即可求得 的值.
(1)设该函数的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)
则3=a(0+3)(0﹣1),
解得,a=﹣1,
∴y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3,
即二次函数的解析式;是y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴该函数的对称轴是直线x=﹣1,
∵点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的一对对称点,
∴点D的坐标为(﹣2,3),
设过点B(1,0)、点D(﹣2,3)的直线的函数解析式为y=kx+b,
,得 ,
即直线BD的解析式为y=﹣x+1,
当x=0时,y=﹣0+1=0,
即点E的坐标为(0,1),
作DF⊥AB于点F,
∵DF⊥AB,EO⊥AB于点O,
∴△BEO∽△BDF,
∴=,
∵点B(1,0),点F(﹣2,0),
∴BO=1,BF=3,
∴= ,
∴=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,y是关于的二次函数,抛物线经过点.抛物线经过点抛物线经过点抛物线经过点则下列判断:
①四条抛物线的开口方向均向下;
②当时,四条抛物线表达式中的均随的增大而增大;
③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方;
④抛物线与轴交点在点的上方.
其中正确的是
A.①②④B.①③④
C.①②③D.②③④
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【题目】如图,中,,点位于第一象限,点为坐标原点,点在轴正半轴上,若双曲线与的边、分别交于点、,点为的中点,连接、.若,则为_______________.
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【题目】如图,学校旗杆的下方有一块圆形草坪,草坪的外面围着“圆环”水池,草坪和水池的外边缘是两个同心圆,旗杆在圆心O的位置且与地面垂直.
(1)若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1∶4,求两个同心圆的半径之比.
(2)如图,若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC,小桥所在的直线经过圆心O,上午8:00时太阳光线与地面成30°角,旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘;上午9:00时太阳光线与地面成45°角,旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘,求旗杆的高OA长.
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【题目】(1)如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,试探索线段BC,DC,EC之间满足的等量关系,并证明你的结论.
(2)如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,BC=8,D为边AC的中点.
(1)如图1,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,求线段CE的长;
(2)连接BD,作线段BD的垂直平分线分别交边BC、BD、AB于点P、O、Q.
①如图2,当∠BAC=90°时,求BP的长;
②如图3,设tan∠ABC=x,BP=y,求y与x之间的函数表达式和tan∠ABC的最大值.
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【题目】如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A、B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC,
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半径.
(3)过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G,如果连接AE,将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH,点H正好落在⊙O上,连接BH,求证:四边形AHBG为菱形.
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【题目】如图(1)已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中,∠CAO=60°,OA=2,B点的坐标为(2,0),动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动(M点不与点A、点B重合),设运动时间为t秒.
(1)求经过B、C、D三点的抛物线解析式;
(2)点P在(1)中的抛物线上,当M为AC中点时,若△PAM≌△PDM,求点P的坐标;
(3)当点M在CB上运动时,如图(2)过点M作ME⊥AD,MF⊥x轴,垂足分别为E、F,设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(4)如图(3)点P在(1)中的抛物线上,Q是CA延长线上的一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,求点P的坐标.
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