Question

17．如图，一次函数y=-x+5的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+5，即可得出a，再把点A坐标代反比例函数y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于y轴的对称点D，连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令x=0，即可得出点P坐标．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+5，
得a=-1+5，
解得a=4，
∴A（1，4），
点A（1，4）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
得k=4，
∴反比例函数的表达式y=$\frac{4}{x}$，
两个函数解析式联立列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴点B坐标（4，1）；

（2）作点B作关于y轴的对称点D（-4，1），连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{17}{5}$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
令x=0，得y=$\frac{17}{5}$，
∴点P坐标（0，$\frac{17}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题以及轴对称-最短路线问题，利用了待定系数法求解析式，两点之间线段最短的性质．