Question

9．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ-DH，把相关线段的长度代入求值即可．

解答 解：如图，连接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．
由题意知，AP=39m．
在直角△APH中，PH=$\sqrt{A{P}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3{9}^{2}-1{5}^{2}}$=36（m）；
在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15$\sqrt{3}$（m）．
在Rt△CDQ中，DQ=$\frac{CQ}{sin30°}$=$\frac{39}{\frac{1}{2}}$=78（m）．
则PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15$\sqrt{3}$≈114-15×1.7=88.5≈89（m）．
答：PQ的长度约为89m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．