Question

如图，在直角坐标系中，点P为菱形OACB的对角线AB、OC的交点，其中点B、P在双曲线y=

k

x

（x＞0）上．若点P的坐标为（1，2），则点A的坐标为（　　）

• A、（-1，

  10

  3

  ）
• B、（-2，

  7

  2

  ）
• C、（-

  13

  9

  ，

  14

  9

  ）
• D、（-3，

  18

  5

  ）

Answer 1

考点：菱形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：首先根据题意求出反比例函数的解析式，然后根据菱形的性质求出点C的坐标，进而求出点B的坐标；最后利用中点的坐标公式求出点A的坐标．

解答：解：∵点P在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，且点P的坐标为（1，2），
∴2=

k

1

，即k=2，y=

2

x

；设点B坐标为B（m，n）；
∵四边形OACB为菱形，∴BC=BO，PA=PB，PO=PC；设点C的坐标为C（a，b），
则

a+0

2

=1，

b+0

2

=2；
∴a=2，b=4；即点C的坐标为C（2，4）；
∵BC=

(m-2)2+(n-4)2

，BO=

(m-0)2+(n-0)2

=

m2+n2

，
∴

(m-2)2+(n-4)2

=

m2+n2

，整理得，m+2n=5①；
∵点B在双曲线y=

2

x

（x＞0）上，∴n=

2

m

，mn=2②；
联立①、②并解得m=4，n=

1

2

或m=1，n=2；
∴点B坐标为（4，

1

2

）或（1，2）（舍去）；
设点A的坐标为（c，d），则

c+4

2

=1，

d+ 1 2

2

=2，
解得c=-2，d=

7

2

，
∴点A的坐标为（-2，

7

2

），
故选：B．

点评：该题主要考查了菱形的性质及其应用问题；解题的关键是数形结合，灵活利用菱形的性质列出方程求解．