Question

【题目】如图，已知Rt△EBC中，∠B＝90°，A为BE边上一点，以边AC上的点O为圆心、OA为半径的圆O与EC相切，D为切点，AD∥BC．

（1）求证：∠E＝∠ACB．

（2）若AD＝1，，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）连结OD，通过切线的性质可知OD⊥EC，再由同角的余角相等即可得到∠E＝∠ODA，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质即可得到∠E＝∠ACB；

（2）设AB＝x，通过相同锐角的三角函数值相同，即可得到，再根据得到进行求解即可得解.

（1）连结OD

∵AD∥BC，

∴

∴

又圆O与EC相切于D点

∴OD⊥EC

∴

∴∠E＝∠ODA

又OD＝OA

∴∠DAC＝∠ODA

∴∠DAC＝∠E

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠ACB

∴∠E＝∠ACB；

（2）由（1）知，∠E＝∠ACB＝∠DAC，

∴

∴在中，

∵AD＝1

∴

设AB＝x

∵在中，

∴

∵AD∥BC

∴

∴

∴

∴

经检验是所列方程的根，

∴．