【题目】已知,在平面直角坐标系中,点A(o,m),点B(n,0),m, n满足.
(1)求A,B的坐标.
(2)如图1, E为第二象限内直线AB上的一点,且满足,求点E的横坐标.
(3)如图2,平移线段BA至OC, B与O是对应点,A与C是对应点,连接AC, E为BA的延长线上一点,连接EO, OF平分∠COE, AF平分∠EAC, OF交AF于点F,若∠ABO+∠OEB=α,请在图2中将图形补充完整,并求∠F (用含α的式子表示)
【答案】(1)A(0,3),B(4,0);(2);(3)
【解析】
(1)根据非负数的性质列式求出m、n的值,然后写出点A、B的坐标即可;
(2)设点E的横坐标为a,然后利用三角形的面积列式求出a的值,再利用待定系数法求出直线AB的解析式,然后求解即可;
(3)根据平移的性质可得AB∥OC,AC∥OB,根据平行线的性质可得∠OEB=∠COE,∠CAE=∠ABO,然后根据角平分线的定义可得,,再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解.
解:(1)由非负数的性质得,m-3=0,n-4=0,
解得m=3,n=4,
所以,A(0,3)B(4,0);
(2)设点E的横坐标为a,
,
,
解得a=,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
则
解得
所以,直线AB的解析式为,
当时,,
所以,点E的坐标为;
(3)由平移的性质,AB∥OC,AC∥OB,
∴∠OEB=∠COE,∠CAE=∠ABO,
∵OF平分∠COE,AF平分∠EAC,
,
由三角形的内角和定理,∠OEB+∠EAF=∠F+∠EOF,
,
,
∵∠ABO+∠OEB=α,
.
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【题目】如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)画出直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角∠α的数量关系.
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【题目】阅读理解:用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法.
(i)二次项系数2=1×2;
(ii)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3),验算:“交叉相乘之和”;
1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5
(iii)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1,等于一次项系数﹣1.
即:(x+1)(2x﹣3)=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3,则2x2﹣x﹣3=(x+1)(2x﹣3).
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x﹣12= .
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0.
(1)当t=3时,解这个方程;
(2)若m,n是方程的两个实数根,设Q=(m﹣2)(n﹣2),试求Q的最小值.
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【题目】某气象台发现:在某段时间里,如果早晨下雨,那么晚上是晴天;如果晚上下雨,那么早晨是晴天,已知这段时间有9天下了雨,并且有6天晚上是晴天,7天早晨是晴天,则这一段时间有( )
A.9天
B.11天
C.13天
D.22天
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【题目】如图(1),AD,BC交于O点,根据“三角形内角和是180°”,不难得出两个三角形中的角存在以下关系:①∠DOC=∠AOB;②∠D+∠C=∠A+∠B.
(提出问题)
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线,两条角平分线交于点E,如图(2),∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢?
(解决问题)
为了解决上面的问题,我们先从几个特殊情况开始探究.
已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E.
(1)如图(3),若AB∥CD,∠D=30°,∠B=40°,则∠E= .
(2)如图(4),若AB不平行CD,∠D=30°,∠B=50°,则∠E的度数是多少呢?
小明是这样思考的,请你帮他完成推理过程:
易证∠D+∠1=∠E+∠3,∠B+∠4=∠E+∠2,
∴∠D+∠1+∠B+∠4= ,
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴2∠E= ,
又∵∠D=30°,∠B=50°,
∴∠E= 度.
(3)在总结前两问的基础上,借助图(2),直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是: .
(类比应用)
如图(5),∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.
已知:∠D=m°、∠B=n°,(m<n)求:∠E的度数.
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