Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0．

（1）当t＝3时，解这个方程；

（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x1＝3﹣，x2＝3+；（2）Q的最小值是﹣1．

【解析】

（1）把t＝3代入x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0，再利用公式法即可求出答案；

（2）由根与系数的关系可得出m+n＝2t、mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4中可得出（m﹣2）（n﹣2）＝（t﹣3）2﹣1，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m﹣2）（n﹣2）的最小值．

（1）当t＝3时，原方程即为x2﹣6x+7＝0，

，

解得，；

（2）∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，

∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，

∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4＝t2﹣6t+8＝（t﹣3）2﹣1．

∵方程有两个实数根，

∴△＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，

∴t≥2，

∴（t﹣3）2﹣1≥（3﹣3）2﹣1＝﹣1．

故Q的最小值是﹣1．