Question

15．已知点A（m、n）是反比例函数$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，P是y轴上一点，
（1）求△PAB的面积；
（2）当△PAB为等腰直角三角形时，求点A的坐标；
（3）若∠APB=90°，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先连接OA，由AB⊥x轴，可得AB∥y轴，即可得△PAB与△OAB等底等高，即可知其面积相等，然后由反比例函数k的几何意义，求得△PAB的面积；
（2）分别从若∠ABP=90°，则AB=OB；若∠PAB=90°，则PA=AB；若∠APB=90°，则AP=BP去分析求解即可求得答案；
（3）由∠APB=90°，可得点P是以AB为直径的圆与y轴的交点，又由（2）可知当x=$\sqrt{2}$时，以AB为直径的圆与y轴相切，当x＞$\sqrt{2}$时，以AB为直径的圆与y轴相离，继而求得答案．

解答 解：（1）连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴S_△PAB=S_△POB，
∵点A（m、n）是反比例函数$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上一点，
∴S_△PAB=S_△POB=2；

（2）若∠ABP=90°，则AB=OB，
则m=n，
∴m=$\frac{4}{m}$，
∵x＞0，
∴m=2，
∴点A（2，2）；
若∠PAB=90°，则PA=AB，同理可得点A（2，2）；
若∠APB=90°，则AP=BP，
过点P作PC⊥AB于点C，则AC=BC=PC，
则点A（m，2m），
∴2m=$\frac{4}{m}$，
∵x＞0，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴点A（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
综上，点A的坐标为：（2，2）或（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；

（3）∵∠APB=90°，
∴点P是以AB为直径的圆与y轴的交点，
由（2）可知当x=$\sqrt{2}$时，以AB为直径的圆与y轴相切，当x＞$\sqrt{2}$时，以AB为直径的圆与y轴相离，
∴m的取值范围为：0＜m≤$\sqrt{2}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数k的几何意义、等腰直角三角形的性质、圆周角定理以及直线与圆的关系．注意准确作出辅助线，由∠APB=90°，得到点P是以AB为直径的圆与y轴的交点是解此题的关键，