Question

7．2015年年初，南方草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y=-x+14，当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元；
①求w与x之间的函数关系式；
②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
（2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润．

Answer 1

分析 （1）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入-经营总成本=w_A+w_B-3×20；
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类草梅的数量；
（2）本问是方案设计问题，总投入为100万元，这笔100万元包括购买草莓的费用+A类草梅加工成本+B类草莓加工成本．共购买了m吨草莓，其中A类草莓为x吨，B类草莓为（m-x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．

解答 解：（1）①设销售A类草莓x吨，则销售B类草莓（20-x）吨．
①当2≤x＜8时，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
当x≥8时，
w_A=6x-x=5x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
∴w关于x的函数关系式为：
w=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+7x+48（2≤x＜8）}\\{-x+48（x≥8）}\end{array}\right.$．
②当2≤x＜8时，-x²+7x+48=30，解得x₁=9，x₂=-2，均不合题意；
当x≥8时，-x+48=30，解得x=18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类草莓有18吨．

（2）设投入资金后甲类分到收购的草莓为x吨，乙类为y吨，
总投入为3（x+y）+x+12+3y=100，
即：2x+3y=44，
当x＜8时总利润为w=（-x+14）x+9×$\frac{44-2x}{3}$-100=-x²+8x+32=-（x-4）²+48，
当x=4时，取到最大值48；
当x≥8时，总利润w=6x+9×$\frac{44-2x}{3}$-100=32为常数，
故方案为收购16吨，甲类分配4吨，乙类分配12吨，总收益为48万元．

点评 本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．