Question

2．三个正方形如图排列，AC，AD，AE为三条对角线，求∠1+∠2+∠3的度数．

Answer 1

分析 设正方形的边长为1，根据正方形的性质得AC=$\sqrt{2}$，CD=1，CE=2，则可计算出$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，加上∠ACD=∠ECA，于是可判断△CAD∽△CEA，利用相似三角形的性质得∠CAD=∠3，接着根据三角形外角性质有∠1=∠CAD+∠2=∠2+∠3，然后根据正方形得性质即可得到∠1+∠2+∠3=90°．

解答 解：设正方形的边长为1，则AC=$\sqrt{2}$，CD=1，CE=2，
∵$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{CE}$，
而∠ACD=∠ECA，
∴△CAD∽△CEA，
∴∠CAD=∠3，
∵∠1=∠CAD+∠2，
∴∠1=∠2+∠3，
∵∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=2∠1=90°．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了正方形的性质．