Question

9．（1）如图1，三角形ABC中，BO平分∠ABC、CO平分∠ACB，则∠BOC与∠A的数量关系是∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如图2，BO平分△ABC的外角∠CBD、CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系是∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）请就图2及图2中的结论进行证明．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可；
（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根据三角形内角和定理可证2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根据三角形内角和定理可证2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：（1）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠BOC与∠A的关系是∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
故答案为：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）证明：如图，

∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．