Question

如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．
（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请直接写出关系式

 

．
（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）延长BC与AM交于点F，如图1，由AM∥BN，BC平分∠NBA可推出∠AFB=∠ABF，则有AF=AB．由AC平分∠MAB可得FC=BC，从而可证到△DCF≌△ECB，则有DF=EB，从而可得到AB=AF=AD+DF=AD+BE；
（2）延长BC与AM交于点F，如图2，可借鉴（1）中的解题经验得到AF=AB，DF=EB，从而得到AB=AF=AD-DF=AD-BE．

解答：解：（1）AB=AD+BE．
理由如下：延长BC与AM交于点F，如图1．
∵AM∥BN，BC平分∠NBA，
∴∠AFB=∠FBE，∠FBE=∠ABF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB．
∵AC平分∠MAB，
∴FC=BC．
在△DCF和△ECB中，

∠DFC=∠EBC FC=BC ∠DCF=∠ECB

，
∴△DCF≌△ECB，
∴DF=EB，
∴AB=AF=AD+DF=AD+BE，
故答案为AB=AD+BE；

（2）AB=AD-BE．
证明：延长BC与AM交于点F，如图2．
∵AM∥BN，BC平分∠NBA，
∴∠AFB=∠FBN，∠FBN=∠ABF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB．
∵AC平分∠MAB，
∴FC=BC．
在△DCF和△ECB中，

∠DFC=∠EBC FC=BC ∠DCF=∠ECB

，
∴△DCF≌△ECB，
∴DF=EB，
∴AB=AF=AD-DF=AD-BE．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，由本题可得到以下经验：平行线与角平分线组合常常会出现等腰三角形；平行线与中点组合常常会出现全等三角形．