Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中AB是⊙O的直径，已知AD=CD，CD∥AB，则∠BCD的度数是

 

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Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：连结AC，设∠CAD=α．根据圆周角定理得∠ACB=90°，由AD=CD，得出∠ACD=∠CAD=α，由CD∥AB，得出∠ACD=∠CAB=α，那么∠DAB=∠CAD+∠CAB=2α，AD=BC，又CD∥AB，于是四边形ABCD是等腰梯形，∠B=∠DAB=2α．然后在△ABC中，根据直角三角形两锐角互余得出∠CAB+∠B=90°，即α+2α=90°，求出α=30°，则∠B=2α=60°，再根据两直线平行同旁内角互补得到∠BCD=180°-∠B=120°．

解答：解：如图，连结AC，设∠CAD=α．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD=α，
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=α，
∴∠DAB=∠CAD+∠CAB=2α，AD=BC．
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠DAB=2α．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴α+2α=90°，
∴α=30°，
∴∠B=2α=60°
∵CD∥AB，
∴∠BCD=180°-∠B=120°．
故答案为120°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰梯形的判定与性质以及平行线的性质．