Question

【题目】已知抛物线y=kx2+（k﹣2）x﹣2（其中k＞0）．

（1）求该抛物线与x轴的交点及顶点的坐标（可以用含k的代数式表示）；

（2）若记该抛物线顶点的坐标为P（m，n），直接写出|n|的最小值；

（3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）当k=2时，|n|的最小值是2；（3）新函数的解析式为y=﹣﹣1．

【解析】试题分析：（1）令y=0，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0即可得到抛物线与x轴的交点，根据抛物线的顶点坐标公式（﹣）代入进行计算即可求解；

（2）根据（1）的结果，然后利用绝对值的性质，再根据不等式的性质进行解答；

（3）根据左加右减，上加下减，写出平移后的抛物线顶点坐标，然后消掉字母k即可得解．

试题解析：解：（1）当y=0时，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，即（kx﹣2）（x+1）=0，解得：x1=，x2=﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标是（，0）与（﹣1，0），﹣=﹣=﹣==﹣，∴抛物线的顶点坐标是（﹣，﹣）；

（2）根据（1），|n|=|﹣|===++1≥2+1=1+1=2，当且仅当=，即k=2时取等号，∴当k=2时，|n|的最小值是2；

（3）﹣+=，﹣+===﹣k﹣1，设平移后的抛物线的顶点坐标为（x，y），则，消掉字母k得：y=﹣﹣1，∴新函数的解析式为y=﹣﹣1．