[题目]如图①,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于C点,与y轴交于点E,点A在x轴的负半轴,以A点为圆心,AO为半径的圆与直线的CE相切于点F,交x轴负半轴于另一点B.(1)求的半径;(2)连BF.AE,则BF与AE之间有什么位置关系?写出结论并证明.(3)如图②,以AC为直径作交y轴于M,N两点,点P是弧MC上任意一点,点Q是弧PM的中点,连CP,NQ,延长CP,NQ交于D点,求CD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于C点,与y轴交于点E,点A在x轴的负半轴,以A点为圆心,AO为半径的圆与直线的CE相切于点F,交x轴负半轴于另一点B.

(1)求的半径;

(2)连BF、AE,则BF与AE之间有什么位置关系?写出结论并证明.

(3)如图②,以AC为直径作交y轴于M,N两点,点P是弧MC上任意一点,点Q是弧PM的中点,连CP,NQ,延长CP,NQ交于D点,求CD的长.

【答案】(1)1;(2) BF∥AE．具体分析见解析：（3）.

【解析】

（1）连接AF，如图①a，由直线EC的解析式可求出OE、OC的长，根据勾股定理可求出EC的长，然后根据切线长定理可求出EF的长，然后在Rt△AFC中运用勾股定理就可求出圆的半径．

（2）连接OF，交AE于点H，如图①b，根据切线长定理可得EF=EO，EA平分∠FEO，根据等腰三角形的性质可得∠AHO=90°，由BO是⊙A的直径可得∠BFO=90°，从而得到∠BFO=∠AHO，即可得到BF∥AE．

（3）连接QC、QM、MC、NC、MO1，如图②，易证△MCQ≌△DCQ，则有MC=DC．在Rt△MOO1中，运用勾股定理可求出MO的长，然后在Rt△MOC中，运用勾股定理就可求出MC，即可得到CD的长.

解:(1)连接AF,

如图①a.

直线与x轴交于C点,与y轴交于E点,

点C的坐标为(2，0),点E的坐标为（0，）,

∴OC=2，OE=．

∵∠EOC=90°，

∴EC=．

∵AO⊥OE，∴直线OE与⊙A相切于点O．

又∵直线CE与⊙A相切于点F，

∴∠AFC=90°，EF=OE=，

∴FC=FE+EC=，

在Rt△AFC中，

设AF=，则AO=x，AC=x+2．

根据勾股定理可得：x2+（

）2=（x+2）2，

解得：x=1．

∴⊙A的半径为1．

（2）BF∥AE．

证明：连接OF，交AE于点H，如图①b．

∵EF、EO分别与⊙A相切于点F、O，

∴EF=EO，EA平分∠FEO，

∴EA⊥OF，即∠AHO=90°．

∵BO是⊙A的直径，

∴∠BFO=90°，

∴∠BFO=∠AHO，

∴BF∥AE．

（3）连接QC、QM、MC、NC、MO1，如图②．

∵AC是⊙O1的直径，AC⊥MN，

∴，

∴∠NQC=∠MNC．

∵∠MQC+∠MNC=180°，∠DQC+∠NQC=180°，

∴∠MQC=∠DQC．

∵点Q是的中点，

∴∠MCQ=∠PCQ．

在△MCQ和△DCQ中，

，

∴△MCQ≌△DCQ（ASA），

∴MC=DC．

∵OA=1，OC=2，

∴AC=3，AO1=，OO1=f，

在Rt△MOO1中，

MO1=AO1=，OO1=，

∴．

在Rt△MOC中，

MC=，

∴DC=，

∴CD的长为.

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