【题目】如图,已知,矩形ABCD中,F是对角线BD上一点,以F为圆心,FB为半径作圆与边AD相切于E,边AB与圆F交于另一点G.
(1)若四边形BGEF是菱形,求证:∠EFD=60o;
(2)若AB=15,AD=36,求AE的长;
(3)若BD与圆F交于另一点H,求证:.
【答案】(1)60°;(2)AE=10;(3)详见解析
【解析】
(1)根据菱形的性质得到△GEF和△BGF都是等边三角形,根据等边三角形的性质计算,得到答案;
(2)根据勾股定理求出BD,由△DEF∽△DAB,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可;
(3)连BE,EH,分别证明△AGE∽△EHB和△DEH∽△DBE,根据相似三角形的性质证明结论.
解:(1)在菱形BGEF中,BG=GE=EF=FB
∵FG=FE=FB
∴△GEF和△BGF都是等边三角形,
∴∠EFD=180°-60°-60°=60°;
(2)∵AB=15,AD=36,
∴DB=39
∵△DEF∽△DAB;设EF=BF=r,设AE=x,
∴
解得:
∴AE=10
(3)连BE,EH,
∵BH为直径,
∴∠BEH=90°,
∴∠BEH=∠EAG,
∵四边形GBHE是圆内接四边形,
∴∠BHE=∠EGA,
∴△AGE∽△EHB,
∴
∵AD是圆的切线,
∴∠DEH=∠DBE,又∠EDH=∠BDE,
∴△DEH∽△DBE,
∴,
∴即.
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【题目】国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性,每亩地每年发放种粮补贴120元.种粮大户老王今年种了150亩地,计划明年再承租50~150亩土地种粮以增加收入,考虑各种因素,预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图所示.
(1)今年老王种粮可获得补贴_____________元;
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)若老王明年每亩的售粮收入能达到2100元,设老王明年种粮利润为w(元).(种粮利润=售粮收入-种粮成本+种粮补贴)
①求老王明年种粮利润w(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式;
②当种粮面积为多少亩时,老王明年种粮利润最高?
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【题目】小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六的上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.
(1)小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______;
(2)求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.
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【题目】如图,已知点D、E分别在△ACD的边AB和AC上,已知DE∥BC,DE=DB.
(1)请用直尺和圆规在图中画出点D和点E(保留作图痕迹,不要求写作法),并证明所作的线段DE是符合题目要求的;
(2)若AB=7,BC=3,请求出DE的长.
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【题目】下图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,则组成第4个图案的基础图形的个数为( ).
A. 11B. 12C. 13D. 14
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【题目】如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后,所得几何体( )
A. 主视图改变,俯视图改变 B. 左视图改变,俯视图改变
C. 俯视图不变,左视图改变 D. 主视图不变,左视图不变
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【题目】如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y= x2﹣x+3的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离;
(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;
(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)抛物线的对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标;
(3)当m=4时,抛物线上有两点M(x1,y1)和N(x2,y2),若x1<2,x2>2,x1+x2>4,试判断y1与y2的大小,并说明理由.
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