【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)抛物线的对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标;
(3)当m=4时,抛物线上有两点M(x1,y1)和N(x2,y2),若x1<2,x2>2,x1+x2>4,试判断y1与y2的大小,并说明理由.
【答案】(1)y=-x2-6x-5.(2)点P的坐标(1,1).(3)y1>y2.
【解析】
(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长,求出抛物线的解析式;
(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式,再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式;
(3)根据抛物线的解析式判断出点M,N的大概位置,再关键点M,N的横坐标的范围即可得出结论.
(1)抛物线y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3,AB=4.
∴点A(-5,0),点B(-1,0).
∴抛物线的表达式为y=-(x+5)(x+1)
∴y=-x2-6x-5.
(2)如图1,
依题意,设平移后的抛物线表达式为:y=-x2+bx.
∴抛物线的对称轴为直线x=,抛物线与x正半轴交于点C(b,0).
∴b>0.
记平移后的抛物线顶点为P,
∴点P的坐标(,),
∵△OCP是等腰直角三角形,
∴=
∴b=2.
∴点P的坐标(1,1).
(3)如图2,
当m=4时,抛物线表达式为:y=-x2+4x+n.
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
∵点M(x1,y1)和N(x2,y2)在抛物线上,
且x1<2,x2>2,
∴点M在直线x=2的左侧,点N在直线x=2的右侧.
∵x1+x2>4,
∴2-x1<x2-2,
∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近,
∴y1>y2.
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【题目】如图,已知,矩形ABCD中,F是对角线BD上一点,以F为圆心,FB为半径作圆与边AD相切于E,边AB与圆F交于另一点G.
(1)若四边形BGEF是菱形,求证:∠EFD=60o;
(2)若AB=15,AD=36,求AE的长;
(3)若BD与圆F交于另一点H,求证:.
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【题目】如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( )
A. B. 2C. D. 5
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【题目】一辆货车从甲地出发以50 km/h的速度匀速驶往乙地,行驶1 h后,一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地.轿车行驶0.8 h后两车相遇.图中折线ABC表示两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)的函数关系.
(1)甲乙两地之间的距离是__________ km,轿车的速度是_________ km/h;
(2)求线段BC所表示的函数表达式;
(3)在图中画出货车与轿车相遇后的y(km)与x(h)的函数图像.
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【题目】下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形,并使其对角线的夹角为”的尺规作图过程.
已知:.求作:矩形,使得矩形内接于,且其对角线的夹角为.
作法:如图,
①作的直径;
②以点为圆心,长为半径画弧,交直线上方的圆弧于点;
③连接并延长交于点;
④连接.
所以四边形就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹).
(2)完成下面的证明.
证明:∵点都在上,
∴.
同理.
∴四边形是平行四边形.
∵是的直径,
∴( )(填推理的依据).
∴四边形是矩形.
∵ ,
∴.
∴四边形是所求作的矩形.
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【题目】在△ABC中,BC=a.作BC边的三等分点C1,使得CC1:BC1=1:2,过点C1作AC的平行线交AB于点A1,过点A1作BC的平行线交AC于点D1,作BC1边的三等分点C2,使得C1C2:BC2=1:2,过点C2作AC的平行线交AB于点A2,过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2;如此进行下去,则线段AnDn的长度为______________.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. “打开电视机,正在播足球赛”是必然事件
B. 甲组数据的方差,乙组数据的方差,则乙组数据比甲组数据稳定
C. 一组数据2,4,5,5,3,6的众数和中位数都是5
D. “掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
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【题目】如图,某小区有一长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,则人行道的宽度为( )米.
A. 2B. 1C. 8或1D. 8
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【题目】猫眼专业版数据显示,截至北京时间2月10日21:00,选择在春节档上映的8部国产电影(《疯狂的外星人》、《飞驰人生》、《新喜剧之王》、《流浪地球》、《神探蒲松龄》《廉政风云》、《小猪佩奇过大年》、《熊出没原始时代》)总票房已经达到57.82亿元(含服务费),其中《流浪地球》居首.57.82亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
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