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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+mx+nx轴交于点ABAB的左侧).

1)抛物线的对称轴为直线x=-3AB=4.求抛物线的表达式;

2)平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标;

3)当m=4时,抛物线上有两点Mx1y1)和Nx2y2),若x12x22x1+x24,试判断y1y2的大小,并说明理由.

【答案】1y=-x2-6x-5.(2)点P的坐标(11).(3y1y2

【解析】

1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长,求出抛物线的解析式;

2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式,再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式;

3)根据抛物线的解析式判断出点MN的大概位置,再关键点MN的横坐标的范围即可得出结论.

1)抛物线y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3AB=4

∴点A-50),点B-10).

∴抛物线的表达式为y=-x+5)(x+1

y=-x2-6x-5

2)如图1

依题意,设平移后的抛物线表达式为:y=-x2+bx

∴抛物线的对称轴为直线x,抛物线与x正半轴交于点Cb0).

b0

记平移后的抛物线顶点为P

∴点P的坐标(),

∵△OCP是等腰直角三角形,

=

b=2

∴点P的坐标(11).

3)如图2

m=4时,抛物线表达式为:y=-x2+4x+n

∴抛物线的对称轴为直线x=2

∵点Mx1y1)和Nx2y2)在抛物线上,

x12x22

∴点M在直线x=2的左侧,点N在直线x=2的右侧.

x1+x24

2-x1x2-2

∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近,

y1y2

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2)求线段BC所表示的函数表达式

3)在图中画出货车与轿车相遇后的ykm)与xh)的函数图像

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作法:如图,

①作的直径

②以点为圆心,长为半径画弧,交直线上方的圆弧于点

③连接并延长交于点

④连接.

所以四边形就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程,

1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹).

2)完成下面的证明.

证明:∵点都在上,

.

同理.

∴四边形是平行四边形.

的直径,

)(填推理的依据).

∴四边形是矩形.

.

∴四边形是所求作的矩形.

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A. B. C. D.

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