【题目】如图△ABC内接于圆O,I是△ABC的内心,AI的延长线交圆O于点D.
(1)求证:BD=DI;
(2)若OI⊥AD,求的值.
【答案】(1)证明:∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD,∠BAD=∠CAD=∠CBD,
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD,
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD;
(2)解:连接OA、OD、BD和BI,
∵OA=OD,OI⊥AD
∴AI=ID,
∵I为△ABC内心,
∴∠BAD=∠BCD,
∴弧BD=弧CD,
∵弧CD=弧CD,
∴∠BCD=∠BAD,
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI,
=(∠BAC+∠ACB),
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=(∠BAC+∠ABC),
∴∠DIB=∠DBI,
∴BD=ID=AI,,
故OD⊥BC,记垂足为E,则有BE=BC,
作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而BD=AI,
∴Rt△BDE≌Rt△AIG,
于是,AG=BE=BC,但AG=
(AB+AC﹣BC),
故AB+AC=2BC,
∴=2.
【解析】(1)要证明ID=BD,利用内心的定义可以得到∠ABI=∠CBI,然后利用同弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于不相邻的两个外角的和,即可证得∠BID=∠IBD,利用等边对等角即可证得;
(2)作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而BD=AI,证得:Rt△BDE≌Rt△AIG,则AG=BE=BC,根据直角三角形的内心的性质可得:AG=
(AB+AC﹣BC),再根据AB+AC=2BC即可求解.
【考点精析】利用三角形的内切圆与内心对题目进行判断即可得到答案,需要熟知三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心.
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【题目】 学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方,已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元,购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价;
(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,购进A种魔方多少个时,两种活动费用相同?
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠B=90°, AB//CD,M为BC边上的一点,AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
求证:(1) AM⊥DM;
(2) M为BC的中点.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,B为切点,OC平行于弦AD,连接CD。过点D作DE⊥AB于E,交AC于点P,求证:点P平分线段DE。
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【题目】在中,对角线AC、BD交于点O,且分别平分∠DAB,∠ABC.
(1)请求出∠AOB的度数,写出AD、AB、BC之间的等量关系,并给予证明.
(2)设点P为对角线AC上一点,PB=5,若AD+BC=16,四边形ABCD的面积为,求AP的长.
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【题目】如图,AD平分∠BAC交BC于点D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,∠BDA+∠CEG=180°.
(1)AD与EF平行吗?请说明理由;
(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,若∠F=40°,求∠H的度数.
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【题目】(本题10分) 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ,求线段EF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,同时将点A(﹣1,0)、B(3,0)向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度,分别得到A、B的对应点C、D.连接AC,BD
(1)求点C、D的坐标,并描出A、B、C、D点,求四边形ABDC面积;
(2)在坐标轴上是否存在点P,连接PA、PC使S△PAC=S四边形ABCD?若存在,求点P坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某市是蜜桔之乡,今年桔子大丰收,某合作社要把240吨桔子运往某市的A、B两地,用大、小两种货车共20辆,恰好能一次性运完这批桔子,已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆.
(1)这两种货车各有多少辆?
(2)运往A地的运费为:大车630元/辆,小车420元/辆;运往B地的运费为:大车750元/辆,小车550元/辆.若把20辆货车中的10辆安排前往A地,其余货车前往B地,其中调往A地的大车有a辆,求总运费.(用含a的式子表示)
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