【题目】如图,AB是⊙O的直径,PA、PC与⊙O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:∠EPD=∠EDO;
(2)若PC=3,tan∠PDA=,求OE的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由切线的性质即可得证.(2)连接OC,利用tan∠PDA=,可求出CD=2,进而求得OC=,再证明△OED∽△DEP,根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.
(1)证明:∵PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,
∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO,
∵DE⊥PO,
∴∠PAO=∠E=90°,
∵∠AOP=∠EOD,
∴∠APO=∠EDO,
∴∠EPD=∠EDO.
(2)连接OC,
∴PA=PC=3,
∵tan∠PDA=,
∴在Rt△PAD中,
AD=4,PD==5,
∴CD=PD-PC=5-3=2,
∵tan∠PDA=,
∴在Rt△OCD中,
OC=,
OD==,
∵∠EPD=∠ODE,∠OCP=∠E=90°,
∴△OED∽△DEP,
∴===2,
∴DE=2OE,
在Rt△OED中,OE2+DE2=OD2,即5OE2==,
∴OE=.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于点E,连接AD,BC,CO
(1)当∠BCO=25°时,求∠A的度数;
(2)若CD=4,BE=4,求⊙O的半径.
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【题目】港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,位于中国广东省伶仃洋区域内,为珠江三角洲地区环线高速公路南环段,青州航道桥“中国结三地同心”主题的斜拉索塔如图(1)所示.某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题,请你解答.
如图(2),BC,DE为主塔AB(主塔AB与桥面AC垂直)上的两条钢索,桥面上C、D两点间的距离为16m,主塔上A、E两点的距离为18.4m,已知BC与桥面AC的夹角为30°,DE与桥面AC的夹角为38°。求主塔AB的高.(结果精确到1米,参考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,≈1.7)
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【题目】在歌唱比赛中,一位歌手分别转动如下的两个转盘(每个转盘都被分成3等份)一次,根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目.
(1)转动转盘①时,该转盘指针指向歌曲“3”的概率是 ;
(2)若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”,即指针指向歌曲“3”时,该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”, 请用树形图或列表法中的一种,求他演唱歌曲“1”和“4”的概率.
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【题目】如图,正三角形ABC的边长是4,分别以点B,C为圆心,以r为半径作两条弧,设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S,当 ≤<4时,S的取值范围是___.
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【题目】不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,蓝球有1个,现从中任意摸出一个是红球的概率为.
(1)求袋中黄球的个数;
(2)第一次摸出一个球(不放回),第二次再摸一个小球,请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率;
(3)若规定摸到红球得5分,摸到黄球得3分,摸到蓝球得1分,小明共摸6次小球(每次摸1个球,摸后放回)得20分,问小明有哪几种摸法?
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【题目】如图,在轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别于函数,的图像交于B、A两点,则∠OAB大小的变化趋势为 ( )
A. 逐渐变小B. 逐渐变大C. 时大时小D. 保持不变
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【题目】目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,地到宁波港的路程比原来缩短了.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的缩短到.
(1)求地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.
(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,某车货物从地到宁波港的运输成本是每千米元,时间成本是每时元,那么该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?
(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到地.若有一批货物(不超过车)从地按外运路线运到地的运费需元,其中从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同,从宁波港到地的海上运费对一批不超过车的货物计费方式是:车元,当货物每增加车时,每车的海上运费就减少元,问这批货物有几车?
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【题目】(本小题满分10分)
如图,在□ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以点B、F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.
(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是菱形;
(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求∠C的大小.
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