Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．

(1)求证：∠EPD=∠EDO；

(2)若PC=3，tan∠PDA=，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=2,进而求得OC=，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.

（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，

∵DE⊥PO，
∴∠PAO=∠E=90°，

∵∠AOP=∠EOD，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO.

（2）连接OC，
∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，

AD=4，PD==5，
∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，

OC=，

OD==，

∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，
∴△OED∽△DEP，
∴===2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2==，
∴OE=．