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    19．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0）、点C三点．
    （1）试求抛物线的解析式；
    （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
    （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？

    分析 （1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式；
    （2）根据已知求出点D的坐标，在y轴上取点G，使GC=CD=2，只要证明证明△CDB≌△CGB，可知∠PBC=∠DBC，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；
    （3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得．

    解答 解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），
    $\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
    解得：a=-1，b=2．
    故抛物线解析式为：y=-x2+2x+3．

    （2）存在
    将点D代入抛物线解析式得：m=3，
    ∴D（2，3），
    令x=0，y=3，
    ∴C（0，3），
    ∴OC=OB，
    ∴∠OCB=∠CBO=45°，
    如下图，

    在y轴上取点G，使GC=CD=2，
    在△CDB与△CGB中
    ∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）
    ∴△CDB≌△CGB，
    ∴∠PBC=∠DBC，
    ∵点G（0，1），
    设直线BP：y=kx+1，
    代入点B（3，0），
    ∴k=-$\frac{1}{3}$，
    ∴直线BP：y=-$\frac{1}{3}$x+1，
    联立直线BP和二次函数解析式：
    $\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-\frac{1}{3}x+1}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{2}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{11}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍），
    ∴P（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

    （3）直线BC：y=-x+3，直线BD：y=-3x+9，
    当0≤t≤2时，如下图：
    设直线C′B′：y=-（x-t）+3
    联立直线BD求得F（$\frac{6-t}{2}$，$\frac{3t}{2}$），

    S=S△BCD-S△CC′E-S△C′DF
    =$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×t×t-$\frac{1}{2}$×（2-t）（3-$\frac{3t}{2}$）
    整理得：S=-$\frac{5}{4}$t2+3t（0≤t≤2）．
    当2＜t≤3时，如下图：

    H（t，-3t+9），I（t，-t+3）
    S=S△HIB=$\frac{1}{2}$[（-3t+9）-（-t+3）]×（3-t）
    整理得：S=t2-6t+9（2＜t≤3）
    综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}{t}^{2}+3t（0≤t≤2）}\\{{t}^{2}-6t+9（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

    点评 题目考查二次函数综合应用，通过对二次函数、一次函数解析式的求解，结合等腰三角形及图形面积求解，考查学生的观察问题能力和解决问题能力，特别是图形面积的求解，更对学生的能力提出更高的要求，题目整体较难，适合学生进行中考压轴题目训练．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．感知：如图①，分别以△ABC中AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，点E，A，C不在同一条直线上，连接CE，BF，易证△ACE≌△AFB．（不要求证明）
    拓展：如图②，分别以△ABC中AB，AC为边向外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC，且点D，A，C不在同一条直线上，连接DC，BE，求证：△ACD≌△AEB．
    应用：在图②中，分别取边EC，CB，BD的中点F，G，H，连接FG，GH，若∠FGH=132°，则∠ADB的大小为66度．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠C=65°．将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为（　　）
    A．10°B．15°C．20°D．25°

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    7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法不正确的是（　　）
    A．该函数有最小值B．y随x的增大而减少
    C．对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$D．当-1＜x＜2时，y《＜0

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
    A．函数有最小值B．当-1＜x＜3时，y＞0
    C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．对称轴是直线x=1

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    4．点M（1，-2）关于y轴的对称点坐标为（　　）
    A．（-1，2）B．（2，-1）C．（1，2）D．（-1，-2）

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    11．如图，在△ABC中，AB=AC，AM是外角∠DAC的平分线．
    （1）实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法），作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE．
    （2）猜想并证明：∠EAC与∠DAC的数量关系并加以证明．

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    8．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：
    “富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
    “自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
    “爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
    小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
    （1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是$\frac{1}{2}$；
    （2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．

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    9．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，AB的垂直平分线与AC交于点D，垂足为点F，试探究线段AD与DC的数量关系，并证明你的结论．

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