Question

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+$\sqrt{3}$与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．

Answer 1

分析 （1）直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可；
（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）由于OC=$\sqrt{3}$，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+$\sqrt{3}$经过A（-3，0），B（1，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+\sqrt{3}=0}\\{a+b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
则D点坐标为（-2，$\sqrt{3}$）．
（2）∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为$\sqrt{3}$，则tan∠DAP=$\sqrt{3}$，
∴∠DAP=60°，
又∵△APQ为等边三角形，
∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积．
AP=t，
∵∠QAP=60°，
∴点Q的纵坐标为t•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t×t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²．
②当2＜t≤3时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，
设QP与DC交于点H，
∵DC∥AP，
∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，
∴△QDH是等边三角形，
∴S=S_△QAP-S_△QDH，
∵QA=t，
∴S_△QAP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²．
∵QD=t-2，
∴S_△QDH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$．
③当3＜t≤4时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，
设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，
∵OP=t-3，∠FPO=60°，
∴OF=OP•tan60°=$\sqrt{3}$（t-3），
∴S△FOP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（t-3）（t-3）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-3）²，
∵S=S_△QAP-S_△QDE-S_△FOP，S_△QAP-S_△QDE=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$．
∴S=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-3）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-$\frac{11}{2}$$\sqrt{3}$．
综上所述，S与t之间的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{\sqrt{3}t-\sqrt{3}（2＜t≤3）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t-\frac{11}{2}\sqrt{3}（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）∵OC=$\sqrt{3}$，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．
①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：

过点M₂作AO的垂线，垂足为N，
∵∠M₂AO=30°，AO=3，
∴M₂O=$\frac{3}{2}$，
又∵∠OM₂N=M₂AO=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OM₂=$\frac{3}{4}$，M₂N=$\sqrt{3}$ON=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
∴M₂的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
同理可得M₁的坐标为（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：

∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，
∴$\frac{OA}{AM}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{AM}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∵OA=3，
∴AM=$\sqrt{3}$或AM=3$\sqrt{3}$，
∵AM⊥OA，且点M在第二象限，
∴点M的坐标为（-3，$\sqrt{3}$）或（-3，3$\sqrt{3}$）．
综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（-3，$\sqrt{3}$），（-3，3$\sqrt{3}$），（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

点评 此题考查二次函数的综合运用，图形的运动，待定系数法求函数解析式，特殊角的三角函数，三角形的面积，分类讨论是解决问题的关键．