Question

7．已知等边三角形ABC（如图）．是否存在一点O，它到顶点A，B，C的距离相等，到边AB，AC，BC的距离也相等？如果有，请用圆规和直尺作出这个点，并说明理由；如果没有，请作出解释．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点O，根据等边三角形的性质可得点O为三边的中垂线的交点，也是角平分线的交点，于是可判断O点到顶点A，B，C的距离相等，到边AB，AC，BC的距离也相等．

解答 解：存在一点O，它到顶点A，B，C的距离相等，到边AB，AC，BC的距离也相等．
如图，点O为所作．
∵AD⊥BC，AE⊥AC，
而△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，AE=CE，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴AD、BE分别为BC和AC的垂直平分线，
∴点O为三边的中垂线的交点，也是角平分线的交点，
∴点O到顶点A，B，C的距离相等，到边AB，AC，BC的距离也相等．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质．