Question

【题目】如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．求证：

（1）HF＝HG；

（2）∠FHG＝∠DAC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接AF，BG．根据等腰三角形的三线合一得到直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到FH=BH，则∠HFB=∠FBH，同理∠AGH=∠GAH，则∠D=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．从而证明结论．

证明：（1）连接AF，BG，

∵AC＝AD，BC＝BE，F、G分别是DC、CE的中点，

∴AF⊥BD，BG⊥AE．

在直角三角形AFB中，

∵H是斜边AB中点，

∴FH＝AB．

同理得HG＝AB，

∴FH＝HG．

（2）∵FH＝BH，

∴∠HFB＝∠FBH；

∵∠AHF是△BHF的外角，

∴∠AHF＝∠HFB+∠FBH＝2∠BFH；

同理∠AGH＝∠GAH，∠BHG＝∠AGH+∠GAH＝2∠AGH，

∴∠ADB＝∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝∠BFH+∠AGH．

又∵∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠ACD，

＝180°﹣2∠ADB，

＝180°﹣2（∠BFH+∠AGH），

＝180°﹣2∠BFH﹣2∠AGH，

＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，

而根据平角的定义可得：∠FHG＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，

∴∠FHG＝∠DAC．