Question

如图所示，正方形ABCD，点F在CD上，连AF交BC的延长线于E点，点O为BD的中点，连接OF，求证：∠DOF=∠BED．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：设正方形的边长为a，FC=c，利用DC∥AB，求出EC，再求出

DF

BD

=

DO

BE

，由∠FDO=∠EBD=45°，即可求出△FDO∽△EBD，从而得出∠DOF=∠BED．

解答：证明：设正方形的边长为a，FC=c，则DF=a-c，BD=

2

a，OB=OD=

2 a

2

，
∵DC∥AB，
∴

EC

EB

=

FC

AB

，即

EC

EC+a

=

c

a

，
解得：EC=

ac

a-c

，
在△DOF和△BED中，
∵

DF

DO

=

a-c

2 a 2

=

2 (a-c)

a

，

BD

BE

=

2 a

a+ ac a-c

=

2 (a-c)

a

，
∴

DF

DO

=

BD

BE

，即：

DF

BD

=

DO

BE

，
∵∠FDO=∠EBD=45°，
∴△FDO∽△EBD，
∴∠DOF=∠BED．

点评：本题主要考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出△FDO∽△EBD．