【题目】如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若CD=4,⊙O的直径为10,求BD的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)8.
【解析】
(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,在Rt△AOF中,由勾股定理得,从而求得AF的值,进而就可求得BD的长.
(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠CAO,
∴∠DAC=∠OCA,
∴PB∥OC,
∵CD⊥PA,
∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线;
(2)解:过O作OF⊥AB,垂足为F,
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,
∴四边形DCOF为矩形,
∴OC=FD=5,OF=CD=4.
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.
∴AF===3,
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,
∴FB=AF=3.
∴BD=DF+BF=5+3=8.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,在△ABC中截出一个矩形DEFG,使得点D在AB边上,EF在BC边上,点G在AC边上,设EF=x,矩形DEFG的面积为y.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出自变量x的取值范围_______;
(3)若DG=2DE,则矩形DEFG的面积为_______.
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【题目】(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG的数量关系是 ;
②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.
(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;
②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式;
(2)根据图象直接写出kx+b<的x的取值范围;
(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△ABM为直角三角形时,AM的长为____________.
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