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【题目】如图,已知直线PA交⊙OAB两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过CCDPA,垂足为D

1)求证:CD为⊙O的切线;

2)若CD4,⊙O的直径为10,求BD的长度.

【答案】(1)证明见解析;(2)8.

【解析】

1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO90°,则CD为⊙O的切线;
2)过OOFAB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD90°,得四边形OCDF为矩形,在RtAOF中,由勾股定理得,从而求得AF的值,进而就可求得BD的长.

1)证明:连接OC

∵OAOC

∴∠OCA∠OAC

∵AC平分∠PAE

∴∠DAC∠CAO

∴∠DAC∠OCA

∴PB∥OC

∵CD⊥PA

∴CD⊥OCCO⊙O半径,

∴CD⊙O的切线;

2)解:过OOF⊥AB,垂足为F

∴∠OCD∠CDA∠OFD90°

四边形DCOF为矩形,

∴OCFD5OFCD4

Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2OA2

∴AF3

∵OF⊥AB,由垂径定理知,FAB的中点,

∴FBAF3

∴BDDF+BF5+38

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写出线段BEBFDB之间的数量关系.

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