Question

【题目】如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为_____（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（a﹣b）．

【解析】

根据切线长定理得到AD＝AE＝（AB＋ACBC），证明△AEF≌△CDE≌△BFD，根据正切的概念计算．

解：如图（1），⊙I是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，

AD＝AE＝ [（AB+AC）﹣（BD+CE）]

＝ [（AB+AC）﹣（BF+CF）]

＝（AB+AC﹣BC），

在图（2）中，由于△ABC，△DEF都为正三角形，

∴AB＝BC＝CA，EF＝FD＝DE，∠BAC＝∠B＝∠C＝∠FED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，

∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝120°，∠1＝∠3；

∴△AEF≌△CDE（AAS），

同理可证：△AEF≌△CDE≌△BFD，

∴BF＝AE，即AF+AE＝AF+BF＝a．

设M是△AEF的内心，MH⊥AC于H，

则AH＝（AE+AF﹣EF）＝（a﹣b），

∵MA平分∠BAC，

∴∠HAM＝30°；

∴HM＝AHtan30°＝（a﹣b）＝（a﹣b），

故答案为：（a﹣b）．