Question

【题目】如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1=90°，且OA2为斜边在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3外作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外作等腰直角△OA4A5，…连接A1A3，A3A5，A5A7，…分别与OA2，OA4，OA6，…交于点B1，B2，B3，…按此规律继续下去，记△OB1A3的面积为S1，△OB2A5的面积为S2，△OB3A7的面积为S3，…△OBnA2n+1的面积为Sn，则Sn=__（用含正整数n的式子表示）．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据等腰直角三角形的定义求出∠A1OA3=∠OA3A2=90°，得A2A3∥OA1，根据同底等高的两个三角形的面积相等得：，所以，同理得：A4A5∥A3O，同理得：，根据已知的1，求对应的直角边和斜边的长：OA2=A1A2，A2A3=OA3=1，OA1=2，并利用平行相似证明△A2B1A3∽△OB1A1，列比例式可以求A2B1，根据面积公式计算S1，同理得：S2，从而得出规律．

∵△OA1A2、△OA2A3是等腰直角三角形，∴∠A1OA2=∠A2OA3=45°，∴∠A1OA3=∠OA3A2=90°，∴A2A3∥OA1，∴（同底等高），∴，∴，

同理得：A4A5∥A3O，

，

∵1，∴OA2A1A2=1．

∵OA2=A1A2，∴OA2=A1A2，∴A2A3=OA3=1，OA1=2．

∵A2A3∥OA1，∴△A2B1A3∽△OB1A1，∴，

∵A2O，∴A2B1，∴S1A1A2A2B1，

同理得：OA4=A3A4，A4A5，∴△A4A5B2∽△OA3B2，∴，∴A4B2，∴S2，

所以得出规律：SnSn﹣1．

故答案为：．