【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A与点B关于原点O对称,点A,点C,点P在直线BC上运动.
(1)连接AC、BC,求证:△ABC是等边三角形;
(2)求点P的坐标,使∠APO=;
(3)在平面内,平移直线BC,试探索:当BC在不同位置时,使∠APO=的点P的个数是否保持不变?若不变,指出点P的个数有几个?若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)(0,),(1,);(3)见解析.
【解析】
(1)如图(见解析),根据A、B、C三点的坐标求出AB、AC、BC的长,即可得证;
(2)由题(1)的结论可知,,因此当点P与点C重合,符合条件;如图(见解析),取BC的中点,连接,由等边三角形性质可得,则,故点也符合条件,最后根据为BC边上的中点即可求得其坐标;
(3)因为以AO为弦画圆,AO所对的圆心角等于,则根据圆周角定理得,直线BC与圆的交点P即为满足条件的点,又因这样的圆共有2个:如图(见解析),逐一分析直线BC与两圆的位置关系即可得.
(1)根据A、B、C三点的坐标可得:
在中,
在中,
则
故是等边三角形;
(2)是等边三角形
则当点P与点C重合,符合条件,此时P的坐标为;
当点P与点C不重合时,取BC的中点,连接
由等边三角形的性质得:
,故点就是符合条件的点
又
是等边三角形
过作
(是的中位线)
则点的坐标是
综上,所求点P的坐标为,;
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使得的点P的个数情况共有4种:1个,2个,3个,4个,理由如下:
如图,以AO为弦画圆,AO所对的圆心角等于的圆共有2个,记作圆Q和圆,显然点Q和点关于x轴对称
因为直线BC与圆Q和圆的公共点P都满足
所以点P的个数情况如下:
①有1个:直线BC与圆Q(或圆)相切
②有2个:直线BC与圆Q(或圆)相交
③有3个:直线BC与圆Q(或圆)相切,同时与圆(或圆Q)相交;直线BC经过圆Q与圆的一个交点,同时与两圆相交
④有4个:直线BC与圆Q,圆都相交,且不经过两圆的交点.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(9,0)、(6,﹣9),△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(﹣3,0),则点B'的坐标为( )
A.(8,﹣12)B.(﹣8,12)
C.(8,﹣12)或(﹣8,12)D.(5,﹣12)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一辆从A站开往D站的动车,途中经停B、C两站,互不相识的甲、乙、丙三人同时从A站上车。
(1)求甲、乙两人在同一车站下车的概率;
(2)甲、乙、丙三人在同一车站下车的概率为
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】北京时间2019年3月10日0时28分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,成功将中星卫星发射升空,卫星进入预定轨道.如图,火星从地面处发射,当火箭达到点时,从位于地面雷达站处测得的距离是,仰角为;1秒后火箭到达点,测得的仰角为.(参考数据:sin42.4°≈0.67,cos42.4°≈0.74,tan42.4°≈0.905,sin45.5°≈0.71,cos45.5°≈0.70,tan45.5°≈1.02)
(Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离;
(Ⅱ)求这枚火箭从到的平均速度是多少(结果精确到0.01)?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,面积为1的等腰直角△OA1A2,∠OA2A1=90°,且OA2为斜边在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3,以OA3为斜边在△OA2A3外作等腰直角△OA3A4,以OA4为斜边在△OA3A4外作等腰直角△OA4A5,…连接A1A3,A3A5,A5A7,…分别与OA2,OA4,OA6,…交于点B1,B2,B3,…按此规律继续下去,记△OB1A3的面积为S1,△OB2A5的面积为S2,△OB3A7的面积为S3,…△OBnA2n+1的面积为Sn,则Sn=__(用含正整数n的式子表示).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD中,点F是BC边上一点,连结AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连结DG.
(1)填空:若∠BAF=18°,则∠DAG=______°.
(2)证明:△AFC∽△AGD;
(3)若=,请求出的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】设直线y=kx+6和直线y=(k+1)x+6(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为Sk(k=1,2,3,…,8),则S1+S2+S3+…+S8的值是( )
A. B. C. 16D. 14
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com