Question

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE．
（1）∠ECA的度数；
（2）求证：BE=BC；
（3）求证：AD⊥BE；
（4）求证：CD=BD．

Answer 1

分析 （1）根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°；
（2）根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；
（3）根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论；
（4）过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=$\frac{1}{2}$AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴∠ECA=165°；
（2）∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），
∴∠BCE=∠ECA-∠ACB=165-90=75°，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=BC；
（3）∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45-30=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABF=45+30=75°，
∴∠AFB=180-15-75=90°，
∴AD⊥BE．
（4）如图，
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠CND}\\{∠MDC=∠NCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．

点评 此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．