Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A=25°，求$\widehat{BD}$的度数．
（2）若BC=9，AC=12，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．

解答 解：（1）延长BC交⊙O于N，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∴∠B所对的弧BDN的度数是130°，
∴$\widehat{BD}$的度数是180°-130°=50°；

（2）延长AC交⊙O于M，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵BC=9，AC=12，
∴CM=CE=BC=9，AM=AC+CM=21，AE=AC-CE=3，
由割线定理得：AD×AB=AE×AM，
∴（15-BD）×15=21×3，
解得：BD=$\frac{54}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．