【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)点E的坐标为(1,),(3,);(3)菱形的边长为4﹣4.
【解析】
试题分析:(1)把点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4)代入y=ax2+bx+c,用待定系数法求出抛物线解析式即可.(2)分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;(3)分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线两种情况,用菱形的性质进行计算即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如图1,
①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,
连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠ACO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴=,
设线段E′F′=h,则CF′=2h,
∴点E′(2h,h+4)
∵点E′在抛物线上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1,),
②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,
同①的方法得,E(3,),
点E的坐标为(1,),(3,)
(3)①CM为菱形的边,如图2,
在第一象限内取点P′,过点
P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,
交y轴于M′,
∴四边形CM′P′N′是平行四边形,
∵四边形CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N′,
过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
设点P′(m,﹣m2+m+4),
在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,
∵P′N′∥y轴,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.
②CM为菱形的对角线,如图3,
在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,
交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,
∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,
∵四边形CPMN是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
设点P(n,﹣n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此种情况不存在.
∴菱形的边长为4﹣4.
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【题目】为了满足市场需求,某厂家生产A、B两种款式的环保购物袋,每天共生产5000个,两种购物袋的成本和售价如下表:
成本(元/个) | 售价 (元/个) | |
2 | 2.4 | |
3 | 3.6 |
设每天生产A种购物袋x个,每天共获利y元.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)如果该厂每天最多投入成本12000元,那么每天最多获利多少元?
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【题目】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求证:BN=DN;
(2)求△ABC的周长
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【题目】如图,BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,垂足为点O;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)中,连接BE和DF,求证:四边形DEBF是菱形
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【题目】如图,菱形ABCD中,AB=1,∠A=60°,EFGH是矩形,矩形的顶点都在菱形的边上.设AE=AH=x(0<x<1),矩形的面积为S.
(1)求S关于x的函数解析式;
(2)当EFGH是正方形时,求S的值.
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【题目】某水果公司购进10 000kg苹果,公司想知道苹果的损坏率,从所有苹果中随机抽取若干进行统计,部分结果如下表:
苹果总质量n(kg) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 1000 |
损坏苹果质量m(kg) | 10.50 | 19.42 | 30.63 | 39.24 | 49.54 | 101.10 |
苹果损坏的频率 (结果保留小数点后三位) | 0.105 | 0.097 | 0.102 | 0.098 | 0.099 | 0.101 |
估计这批苹果损坏的概率为_____(结果保留小数点后一位),损坏的苹果约有______kg.
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【题目】如图,已知点A、B、C是数轴上三点,O为原点.点C对应的数为6,BC=4,AB=12.
(1)求点A、B对应的数;
(2)动点P、Q分别同时从A、C出发,分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动.M为AP的中点,N在CQ上,且CN=CQ,设运动时间为t(t>0).
①求点M、N对应的数(用含t的式子表示); ②t为何值时,OM=2BN.
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【题目】恰逢“植树节”,师梅与博小两所学校决定购进A,B两种树苗进行种植,已知两所学校共花费了390元购进了50棵树苗,其中A树苗10元一棵,B树苗5元一棵.现在要将50棵树苗运往两所学校,其运费如下表所示:
树苗类型 | 师梅(元/棵) | 博小(元/棵) |
A | 8 | 10 |
B | 6 | 5 |
(1)求这50棵树苗中A、B树苗各多少棵?
(2)现师梅需要30棵树苗,博小需要20棵树苗,设师梅需要A树苗为x棵,运往师梅和博小的总运费为y,求y与x的函数解析式.
(3)在(2)的条件下,若运往师梅的运费不超过200元,请你写出使总运费最少的树苗分配方案,并求出最少费用.
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【题目】(7分)如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形;
②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形;(直接写出答案,不需要说明理由)
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