如图，已知过点（0，-$\frac{1}{4}$）的抛物线C1：y=ax2+bx+c的顶点为Q（1，0），现将该抛物线上所有点的纵坐标加h（h＞0），横坐标不变，得到新的抛物线，记为C2，在y轴的负半轴作一条平行于x轴的直线，与两条抛物线交于A、B、C、D四点，直线AD与x轴的距离是m2（m＞0）分析 （1）利用点（0，-$\frac{1}{4}$）和抛物线C1：y=ax2+bx+c的顶点为Q（1，0），代入函数解析式，即可解答；
（2）先确定抛物线C2的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）2+4，再求出点E的坐标为（5，0），点F的坐标为（5，6），即FE=6．设在△EFP中，边EF上的高为d．分两种情况进行讨论：①当点P在EF的左侧时，d=5-xP②当点P在EF的右侧时，d=xP-5，根据S△EFP≤6，列出不等式，即可解答；
（3）先求出点C的坐标为（1+2m，-m2）．点A的坐标为（-1-2m，-m2），从而确定DM=AM=1-（-1-2m）=2+2m．再设抛物线C2的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）2+h．将点A的坐标代入抛物线C2的解析式中，求出h=2m+1，从而得到MN=h+m2=2m+1+m2，根据tan∠MDN=$\frac{MN}{DM}$=$\frac{2m+1+{m}^{2}}{2+2m}$，tan∠MCQ=$\frac{QM}{CM}$=$\frac{{m}^{2}}{2m}$，即可解答．
解答 解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx+c过点（0，-$\frac{1}{4}$），
∴c=-$\frac{1}{4}$．
又∵其顶点为Q（1，0），
∴a+b+c=0，-$\frac{b}{2a}$=1，
∴解得：a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C1的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$；
（2）∵抛物线C1的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$，
整理可得y=-$\frac{1}{4}$（x-1）2．
∵将抛物线C1上所有点的纵坐标都加h、横坐标不变可得到抛物线C2，h=4，
∴抛物线C2的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）2+4，
∴点E的坐标为（5，0）．
易知EF⊥x轴，
∴点F的横坐标为5．
∵点F在直线y=x+1上，
∴点F的坐标为（5，6），即FE=6．
设在△EFP中，边EF上的高为d．
①当点P在EF的左侧时，d=5-xP，
∴S△EFP=$\frac{1}{2}$EF•d=$\frac{1}{2}$×6×（5-xP）≤6，
∴xP≥3．
②当点P在EF的右侧时，d=xP-5，
∴S△EFP=$\frac{1}{2}$EF•d=$\frac{1}{2}$×6×（xP-5）≤6，
∴xP≤7，
∴点P横坐标xP的取值范围是3≤xP≤7．
（3）∵直线AD与x轴的距离是m2，
∴点B，C的纵坐标为-m2，
∴-$\frac{1}{4}$（x-1）2=-m2，
解得x1=1+2m，x2=1-2m，
∴点C的坐标为（1+2m，-m2）．
∵MN是抛物线C1的对称轴，
∴CM=1+2m-1=2m．
∵点A，C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-1-2m，-m2），
∴DM=AM=1-（-1-2m）=2+2m．
设抛物线C2的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）2+h．
将点A的坐标代入抛物线C2的解析式中，
∴-$\frac{1}{4}$（-1-2m-1）2+h=-m2，
∴h=2m+1，
∴MN=h+m2=2m+1+m2，
∴tan∠MDN=$\frac{MN}{DM}$=$\frac{2m+1+{m}^{2}}{2+2m}$，
tan∠MCQ=$\frac{QM}{CM}$=$\frac{{m}^{2}}{2m}$，
∴$\frac{tan∠MDN}{tan∠MCQ}$=$\frac{m+1}{m}$．
点评 本题考查了二次函数的性质，求二次函数解析式、三角函数，解决本题（2）的关键是进行分类讨论，解决本题（3）的关键是函数解析式顶点式的应用．
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，△ABC中，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，BC=BD+AD．求证：AB=AC．
