Question

【题目】如图：已知在平面直角坐标系中点A（a，b）点B（a，0），且满足|2a-b|+（b-4）2=0．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动．同时点Q从C点出发，沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动，某一时刻，如图所示且S阴= S四边形OCAB，求点P移动的时间；

（3）在（2）的条件下，AQ交x轴于M，作∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，判断 是否为定值，若是定值求其值；若不是定值，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A（2，4）、点B（2，0）；（2）3s；（3）是定值，

【解析】

（1）根据非负数的性质易得a=2，b=4，则点A的坐标为（2，4）、点B的坐标（2，0）；

（2）设P点运动时间为t，则t＞2，则P点坐标可表示为（2-t，0），Q点坐标表示为（0，4-2t），用待定系数法确定直线AQ的解析式为y=tx+4-2t，则可确定直线AQ与x轴交点坐标为（，0），根据题意得（+t-2）×4+××（2t-4）=×2×4，然后解方程求出t的值；

（3）先根据角平分线定义得∠ACN=45°，∠1=∠2，再由AC∥BP得∠CAM=∠AMB=2∠1，然后根据三角形内角和定理得∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，所以∠N=45°+∠1，再根据三角形外角性质得∠AMB=∠APB+∠PAQ，即∠APB+∠PAQ=2∠1，接着根据三角形内角和定理得∠AQC+∠OMQ=90°，利用∠OMQ=2∠1可得∠AQC=90°-2∠1，最后用∠1表示式子中的角，约分即可得到=．

解：（1）∵|2a-b|+（b-4）2=0．

∴2a-b=0，b-4=0，

∴a=2，b=4，

∴点A的坐标为（2，4）、点B的坐标（2，0）；

（2）如图2，设P点运动时间为t，则t＞2，所以P点坐标为（2-t，0），Q点坐标为（0，4-2t），

设直线AQ的解析式为y=kx+4-2t，

把A（2，4）代入得2k+4-2t=4，解得k=t，

∴直线AQ的解析式为y=tx+4-2t，

直线AQ与x轴交点坐标为（，0），

∴S阴影=（+t-2）×4+××（2t-4），

而S阴=S四边形OCAB，

∴（+t-2）×4+××（2t-4）=×2×4，

整理得t2-3t=0，

解得t1=0（舍去），t2=3，

∴点P移动的时间为3s；

（3）为定值．理由如下：

如图3，∵∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，

∴∠ACN=45°，∠1=∠2，

∵AC∥BP，

∴∠CAM=∠AMB=2∠1，

∵∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，

∴45°+2∠1=∠N+∠1，

∴∠N=45°+∠1，

∵∠AMB=∠APB+∠PAQ，

∴∠APB+∠PAQ=2∠1，

∵∠AQC+∠OMQ=90°，

而∠OMQ=2∠1，

∴∠AQC=90°-2∠1，

∴==．