Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC=90°，且AB∥CD，将一把三角尺的直角顶点P放在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：
（1）如图，当点Q在边CD上时，线段PQ与BP有怎样的数量关系？并证明你的猜想．
（2）当点Q在线段DC延长线上时，在备用图中画出符合要求的示意图，并判断（1）中的结论是否仍成立？
（3）点P在线段AC上运动时，△PCQ是否可能为等腰三角形？若可能，求此时AP的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）可通过构建全等三角形来证PB=PQ，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，由于△PEC是等腰直角三角形，因此PE=EC，可得出四边形PECF是正方形，由此可得出PE=PF，根据同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE，这两个三角形中又有一组直角，因此构成了全等三角形判定条件中ASA的条件．根据全等三角形即可得出PB=PQ；
（2）根据题意画出图形，同（1）过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E可得出四边形PFCE是正方形，故PE=PF．由ASA定理得出△BPF≌△QPE，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（3）延长BP交DC于G，可得出等腰△PCQ中，PC=QC，故可得出∠1=∠2，由直角三角形的性质得出∠5=∠3，在正方形ABCD中根据平行线的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：如图1，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四边形PFCE是正方形．
∴PE=PF．
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90°，
在△BPF与△QPE中，

∠BPF=∠QPE PF=PE ∠BFP=∠QEP=90°

，
∴△BPF≌△QPE（ASA），
∴BP=PQ；

（2）成立．
理由：如图2，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，
∵∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴PE=EC．
∴四边形PFCE是正方形．
∴PE=PF．
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90°，
在△BPF与△QPE中，

∠BPF=∠QPE PF=PE ∠BFP=∠QEP=90°

，
∴△BPF≌△QPE（ASA），
∴BP=PQ；

（3）能．
证明：如图3，延长BP交DC于G，
∵点Q在DC的延长线上，
∴∠PCQ＞90°，
∴等腰△PCQ中，PC=QC，
∴∠1=∠2，
∵∠BPQ=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠3，
在正方形ABCD中，AB∥DC，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠3，
∴AP=AB=1．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到直角三角形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，难度适中．