Question

1．已知，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，直线DC与AB的延长线交于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，CF交AB于点G，求证：EC=EG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CB=3，AC=6，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠ECG=∠EGC，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△ECB∽△EAC，根据相似三角形的性质求得$\frac{EB}{EC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，在直角△EOC中利用勾股定理列方程求得BE和CE，进而求得BG，然后根据△AGF∽△CGB，根据相似三角形的性质求得FG的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图1，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：如图2，∵DE是⊙O的切线，
∴∠BCE=∠BAC，
∵∠EGC=∠BAC+∠ACG，∠ECG=∠BCE+∠BCG，∠ACG=∠BCG，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EC=EG；
（3）解：如图3，连接AF、BF、OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴OA=OB=OC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∵∠ACF=∠BCF，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∴AF=BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°．
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×3$\sqrt{5}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，
∵∠ECB=∠EAC，∠E=∠E，
∴△ECB∽△EAC．
∴$\frac{EB}{EC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$．
设EB=x，则EC=2x，在Rt△EOC中，（x+$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$）²=（2x）²+（$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$）²，
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{5}$．
∵x＞0，∴x=$\sqrt{5}$，
∴EB=$\sqrt{5}$，EG=CE=2$\sqrt{5}$，
∴BG=$\sqrt{5}$，
∵∠FAG=∠BCG，∠AGF=∠CGB，
∴△AGF∽△CGB，
∴$\frac{FG}{BG}$=$\frac{AF}{BC}$，即$\frac{FG}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{3}$，
∴FG=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的切线性质、三角形相似的判定和性质、及勾股定理的应用等知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．