Question

【题目】如图①，已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

（1）求△ABC的面积．
（2）点M在OB边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在BC边上以每秒 个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B，M，N为顶点的三角形与△BOC相似？
（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P，Q，使得以P，Q，C，B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=0时，y=3，即C（0，3），

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，即A（﹣1，0），B（3，0）；

S△ABC= ABOC= ×[3﹣（﹣1）]×3=6

（2）

解：若∠BMN=90°，如图1：

，

BM=（3﹣t），BN= t，BC= =3 ，

△BMN∽△BOC，

= ，即 = ．

t= （3﹣t），解得t= ；

若∠BNM=90°时，如图2：

，

BM=（3﹣t），BN= t，BC= =3 ，

△BMN∽△BCO，

= ，即 = ，

3﹣t= × t，解得t=1；

综上所述：t=1或t=

（3）

解：如图3：

，

若CB为对线，即CP∥QB，CP1=Q1B=3﹣1=2，y =yC=3，

P1（2，3）；

CB为边，即CB∥PQ，CB=PQ，

设P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b﹣1）．

PQ=CB，即（a﹣1）2+（1﹣a）2=18，

化简，得

a2﹣2a﹣8=0．

解得a=﹣2或a=4．

当a=﹣2时，b=﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3=﹣5，

即P2（﹣2，﹣5）；

当a=4时，b=﹣42+2×4+3=﹣5，

即P3（4，﹣5）；

综上所述：P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（4，﹣5）．

【解析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得△BMN与△BOC的关系，根据相似三角形的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得①BQ=PC或②BC=PQ；根据BQ∥PC，BQ=PC，可得P点坐标；根据PQ=BC，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．