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【题目】如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动,当一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).

(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.

【答案】
(1)解:∵SPBQ= PBBQ,PB=AB﹣AP=18﹣2x,BQ=x,

∴y= (18﹣2x)x,

即y=﹣x2+9x(0<x≤4)


(2)解:由(1)知:y=﹣x2+9x,

∴y=﹣(x﹣ 2+

∵当0<x≤ 时,y随x的增大而增大,

而0<x≤4,

∴当x=4时,y最大值=20,

即△PBQ的最大面积是20cm2


【解析】(1)分别表示出PB、BQ的长,然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解;(2)把函数关系式整理成顶点式解析式,然后根据二次函数的最值问题解答.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和矩形的性质,需要了解如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等才能得出正确答案.

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