Question

已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B点，与y=

k

x

（x＜0）的图象交于C、D点，E是点C关于点A的中心对称点，EF⊥OA于F，若△AOD的面积与△AEF的面积之和为

5

2

时，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先求出A、B两个点的坐标，再设C点的坐标为（x₁，x₁+3），D点的坐标为（x₂，x₂+3）（x₁＜x₂），联立y=x+3与y=y=

k

x

，则x₁、x₂是一元二次方程x²+3x-k=0的两个根，根据方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，并结合已知面积的条件即可求出k的值．

解答：解：∵直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B点，
∴A（-3，0），B（0，3）．
把y=x+3代入y=

k

x

，整理，得x²+3x-k=0．
设C点的坐标为（x₁，x₁+3），D点的坐标为（x₂，x₂+3）（x₁＜x₂），
则x₁、x₂是一元二次方程x²+3x-k=0的两个根，
∴x₁+x₂=-3，x₁²+3x₁-k=0  ①．
∵△AOD的面积+△AEF的面积=

5

2

，
∴

1

2

×3×（x₂+3）+

1

2

（3+x₁）（x₁+3）=

5

2

，
∴3x₂+9+x₁²+6x₁+9=5，
将①代入上式，得k+9=5，
∴k=-4．
故答案为-4．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点、方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及三角形的面积公式，综合性较强，难度中等．