【题目】如图1，将一块含有
角的三角板放置在一条直线上，
边与直线
重合，
边的垂直平分线与边
分别交于
两点，连接
.
(1) 
是 三角形；
(2)直线上有一动点
(不与点
重合) ，连接
并把绕点顺时针旋转到
，连接
.当点在图2所示的位置时，证明
.我们可以用
来证明
，从而得到.当点移动到图3所示的位置时，结论是否依然成立?若成立，请你写出证明过程;若不成立，请你说明理由.
(3)当点在边上移动时(不与点重合)，
周长的最小值是 .
【答案】(1)等边；(2)成立.理由见解析； (3) 
【解析】
(1)根据旋转可得：
由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可判断三角形的形状；
（2）根据旋转可得
是等边三角形，及
是等边三角形，我们可以用
来证明
，从而得到
‘
（3）将△PEC的周长转化为OP+BC，BC为固定长度，只要求出OP的最小值即可得出答案.
(1)∵OD垂直平分BC
∴OB=OC
∵OB=OC,∠OBC=60°
∴是等边三角形
故答案是：等边
(2)成立.
理由如下:由旋转可知，
，
是等边三角形，
.
由
知，是等边三角形，
，
，
即
，
，
.
(3) 由旋转可知，，
是等边三角形，
.PE=OP
由知，是等边三角形，
，
，
即，
，
，OP=OE
∵
周长为：PE+EC+PC=PE+BP+PC=OP+BC=OP+2
∴当OP取得最小值时，周长
∵垂线段最短
∴当OP⊥BC时，OP取得最小值，此时
∴ 周长的最小值为：
故答案为：
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【题目】如图，已知△ABO．
(1)点A关于x轴对称的点的坐标为_________，点B关于y轴对称的点的坐标为_________；
(2)判断△ABO的形状，并说明理由．
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【题目】定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形
中，
，
，
，过点
的直线
交
边于点
．点
在直线上，且
．
（1）若
，点在
延长线上．
① 当
，点恰好为
中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;
② 如图2，若
，图中是否存在“半角三角形”（△
除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图3，若
，保持
的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出
，
，
满足的数量关系：______．
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【题目】如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F.
（1）补全图形；
（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明.
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【题目】如图，直线
经过
的直角顶点
的边上有两个动点
，点
以
的速度从点
出发沿
移动到点
，点
以
的速度从点出发，沿
移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点过点分别作
，垂足分别为点
.若
，设运动时间为
，则当
___
时，以点
为顶点的三角形与以点
为顶点的三角形全等．
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【题目】某学校计划从商店购进
两种商品，购买一个
商品比购买一个
商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等.
（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
（2）根据学校实际情况，该学校需要购买种商品的个数是购买种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个种商品？
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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数
的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（
）自变量
的取值范围是全体实数，与
的几组对应值列表：
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其中
__________．
（
）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（
）观察函数图象，写出一条函数的性质．
（
）进一步探究函数图象发现：
①方程
有__________个实数根．
②方程有
个实数根，
的取值范围是__________．
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【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），
．
（1）求过点A、B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
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【题目】（问题解决）
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
（类比探究）
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=
，求∠APB的度数．
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