Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；

（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）2，D的坐标为（﹣2，2）；（3）y=x﹣或y=﹣x﹣．

【解析】试题分析：

（1）由已知条件可设抛物线解析式为： ，再代入点C的坐标（0，2）解得的值即可得到抛物线的解析式；

（2）如图2，过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，由A、C的坐标求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为“m”，则可用含“m”的代数式表达出DG的长，结合S△ADC=DG×OA即可用“m”的式子表达出其面积，配方即可得到当“m”为何值时，面积最大，并得到面积的最大值；

（3）如图3，设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，则有MF⊥EN，由已知条件易得：⊙M的半径为3，点M的坐标为：（﹣1，0），ME=5，在Rt△MFE中可求得EF=4；再证△MEF∽△NEM，由两三角形对应边成比例可求得MN=，从而可求得点N的坐标为（ ，0）或（，0），结合点E的坐标即可求得直线NE的解析式.

试题解析：

（1）抛物线与轴交于A（﹣4，0），B（2，0），

∴可设，

又∵抛物线过点C（0，2），

∴，解得： ，

∴抛物线的解析式为： ；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2．

设直线AC的解析式为，由已知可得： ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为．

设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，

∴DH=，GH=，

∴DG=DH-GH= ，

∴S△ADC=DG·OA

=

=

=，

∵点D在直线AC上方的抛物线上，

∴，

∴当m=﹣2时，S△ADC取到最大值2．

此时yD=，

∴点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，

则有MF⊥EN．

∵A（﹣4，0），B（2，0），

∴AB=6，MF=MB=MA=3，

∴点M的坐标为：（﹣1，0）．

∵E（﹣1，﹣5），

∴ME=5，∠EMN=90°．

∴在Rt△MFE中，EF=．

∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，

∴△MEF∽△NEM，

∴，即： ，

解得：NM=，

∴点N的坐标为（，0）即（ ，0）或（，0）即（，0）．

设直线EN的解析式为y=px+q．

①当点N的坐标为（ ，0）时，由题意可得： ，

解得： ，

∴直线EN的解析式为．

②当点N的坐标为（，0）时，

同理可得：直线EN的解析式为： ．

综上所述：所求直线的解析式为： 或．