Question

【题目】随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)

抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：

解得：

所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，

化为一般形式为：y=- （0≤x≤3）

（2）解：由（1）知抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，

当x=1时，y= ,

所以，抛物线水柱的最大高度为 m.

【解析】（1）坐标原点可设在特殊位置，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式可设成顶点式，，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可；（2）最值问题，可运用配方法，在自变量的取值范围内，顶点的纵坐标就是最大值，求出当x=1时，y=.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．