Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE＝DF；

（2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，若AB＝，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．

①直接写出线段AE长度的取值范围；

②判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①＜AE≤；②△GEF是等边三角形，见解析；

【解析】

（1）由条件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论．

（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论．

（3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．

②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出，从而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论．

解：（1）如图1，

证明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠FMD．

∵AM＝DM，

∴△AEM≌△DFM．

∴AE＝DF．

（2）答：△GEF是等腰直角三角形．

证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，

∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，

∴四边形ABGH是矩形．

∴GH＝AB＝2．

∵MG⊥EF，

∴∠GME＝90°．

∴∠AME+∠GMH＝90°．

∵∠AME+∠AEM＝90°，

∴∠AEM＝∠GMH．

∴△AEM≌△HMG．

∴ME＝MG．

∴∠EGM＝45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，

∴ME＝MF．

∵MG⊥EF，

∴GE＝GF．

∴∠EGF＝2∠EGM＝90°．

∴△GEF是等腰直角三角形．

（3）①当C、G重合时，如图3

，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∴∠AME+∠AEM＝90°．

∵MG⊥EF，

∴∠EMG＝90°．

∴∠AME+∠DMC＝90°，

∴∠AEM＝∠DMC，

∴△AEM∽△DMC

∴，

∴，

∴AE＝

∴＜AE≤．

②△GEF是等边三角形．

证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图4，

∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，

∴四边形ABGH是矩形．

∴GH＝AB＝2．

∵MG⊥EF，

∴∠GME＝90°．

∴∠AME+∠GMH＝90°．

∵∠AME+∠AEM＝90°，

∴∠AEM＝∠GMH．

又∵∠A＝∠GHM＝90°，

∴△AEM∽△HMG．

∴．

在Rt△GME中，

∴tan∠MEG＝＝．

∴∠MEG＝60°．

　由（1）得△AEM≌△DFM．

∴ME＝MF．

∵MG⊥EF，

∴GE＝GF．

∴△GEF是等边三角形．