【题目】（1）问题情境：如图1，已知等腰直角
中，
，
，
是
上的一点，且
，过作
于
，取
中点
，连接
，则的长为_______（请直接写出答案）
小明采用如下的做法：
延长
到
，使
，连接
，
为
中点，为的中点，
是
的中位线……
请你根据小明的思路完成上面填空；
（2）迁移应用：将图1中的
绕点
作顺时针旋转，当
时，试探究、、
的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当
、、三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
或
【解析】
（1）延长
到
，使
，连接
，过
作
于
，在
中，利用勾股定理求得EH的长，再利用三角形中位线定理即可求解；
（2）分在
上方和下方两种情况讨论，延长
与的延长线交于一点，利用等腰直角三角形的性质结合三角形中位线定理即可求解；
（3）分点D在线段AC上和在AC延长线上两种情况讨论，仿照（1）的方法即可求解．
（1）延长到，使，连接，
∵B为
中点，
为
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
过作于，
∵
，
，
∴四边形BDEG是矩形，
∵
等腰直角三角形，，
∴∠C=∠A=45
，
∵，
∴
等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
，
∵在中，
，
∴
；
（2）当
时，分成两种情况：
如图在上方，延长与的延长线交于一点，
∵∠BAC=45，
∴
是等腰直角三角形，且B为AH的中点，
∴
，
∴
，
∵点F是AE中点，
∴，
∴
；
如图，在下方，延长
与的延长线交于一点，
同理是等腰直角三角形，
为中点，
∴，
∴
，
∵点F是AE中点，
∴，
∴
；
（3）当点D在线段AC上时，
延长到，使，连接，
∵B为中点，为的中点，
∴是的中位线，
过作于，
∠ACB+∠DCE=90，∠ABC =90，
∴四边形BCEG是矩形，
∴GE=BC=6，BG=CE=2，
∴GH=2+6=8，
∴EH=
，
∴
；
当点D在AC延长线上时，
延长到，使，连接，
∵B为中点，为的中点，
∴是的中位线，
过作于，
同理四边形BCEG是矩形，
∴GE=BC=6，BG=CE=2，
∴GH=6-2=4，
∴EH=
，
∴
；
金钥匙试卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝
，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）证明：
；
（3）若BC=8，tan∠AFP=
，求DE的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为
四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题:
（1）参加征文比赛的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示
等级的扇形的圆心角为__ 图中
；
（4）学校决定从本次比赛获得
等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】疫情防控期间，学校开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费2500元，购买B种消毒液花费2000元，且A种消毒液数量是B种消毒液数量的2倍，一桶B种消毒液比一桶A种消毒液贵30元．
（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
（2）为了加强防控，学校准备再次购买A、B两种消毒液共50桶，A种消毒液售价比第一次提高了8%，B种消毒液按第一次售价的9折出售，如果此次购买总费用不超过3260元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间
（单位：小时），将学生分成五类： 
类（
），
类（
），
类（
），
类（
），
类（
），绘制成尚不完整的条形统计图如图11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
类学生有 人，补全条形统计图；
（2）
类学生人数占被调查总人数的 %；
（3）从该班做义工时间在
的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在
中的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称．如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P的仰角为45°，走到台阶顶部B处，又测得塔顶P的仰角为38.7°，已知台阶的总高度BC为3米，总长度AC为10米，试求铁塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）
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