Question

【题目】点D是等边三角形ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，将一个三角尺60°角的顶点放在点D上，三角尺的两边DP，DQ分别与射线AB，CA相交于E，F两点．

(1)当EF∥BC时，如图①所示，求证：EF＝BE＋CF.

(2)当三角尺绕点D旋转到如图②所示的位置时，线段EF，BE，CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，写出EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．

(3)当三角尺绕点D继续旋转到如图③所示的位置时，(1)中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF，BE，CF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3）结论发生变化．EF＝CF－BE.

【解析】

（1）根据△ABC是等边三角形知道AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，而DB=DC，∠BDC=120°，这样可以得到△DCF和△BED是直角三角形，由于EF∥BC，可以证明△AEF是等边三角形，也可以证明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此进一步得到
DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，这样可以得到BE=DE=DF=CF，而△DEF是等边三角形，所以题目的结论就可以证明出来了；（2）结论仍然成立．如图，在AB的延长线上取点F’，使BF’=CF，连接DF’，根据（1）的结论可以证明△DCF≌△DBF’，根据全等三角形的性质可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以证明△EDF’≌△EDF，从而证明题目的结论；（3）结论发生变化． EF=BE-CF．如图，在射线AB上取点F′，使BF′＝CF，连接DF′.由(1)得△DCF≌△DBF′(SAS)．根据全等三角形的性质可以得到DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.又因为∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得到∠FDB＋∠CDF＝60°，∠FDB＋∠BDF′＝∠FDF′＝120°，所以∠EDF′＝∠EDF=60°，由此可得△EDF′≌△EDF(SAS)，从而证明题目的结论EF＝EF′＝BF′- BE＝CF- BE。

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵DB＝DC，∠BDC＝120°，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°.

∴∠DBE＝∠DBC＋∠ABC＝90°，

∠DCF＝∠DCB＋∠ACB＝90°.

∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，

∠AFE＝∠ACB＝60°.∴AE＝AF.

∴BE＝AB－AE＝AC－AF＝CF.

又∵DB＝DC，∠DBE＝∠DCF＝90°，

∴△BDE≌△CDF.

∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF＝（120°-60°）=30°.

∴BE＝DE＝DF＝CF.

∵∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形，

即DE＝DF＝EF.

∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF，

即EF＝BE＋CF.

(2)解：结论仍然成立．

理由如下：如图，在射线AB上取点F′，

使BF′＝CF，连接DF′.

由(1)得∠DBE＝∠DCF＝90°，

则∠DBF′＝∠DCF＝90°.

又∵BD＝CD，

∴△DCF≌△DBF′(SAS)．

∴DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.

又∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，

∴∠EDB＋∠CDF＝60°.

∴∠EDB＋∠BDF′＝∠EDF′＝60°.

∴∠EDF′＝∠EDF.

又∵DE＝DE，

∴△EDF′≌△EDF(SAS)．

∴EF＝EF′＝BE＋BF′＝BE＋CF.

(3)解：结论发生变化．EF＝CF－BE.

理由：在射线AB上取点F′，

使BF′＝CF，连接DF′.

由(1)得∠DBA＝∠DCF＝90°，

则∠DBF′＝∠DCF＝90°.

又∵BD＝CD，

∴△DCF≌△DBF′(SAS)．

∴DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.

又∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，

∴∠FDB＋∠CDF＝60°.

∴∠FDB＋∠BDF′＝∠FDF′＝120°.

∴∠EDF′＝∠EDF=60°.

又∵DE＝DE，DF＝DF′，

∴△EDF′≌△EDF(SAS)．

∴EF＝EF′＝BF′- BE＝CF- BE。